时间序列基础--随机过程

随机过程：

依赖于时间t的一族(无限多个)随机变量，记为{X(t),t∈T} ，t也可以为次序、间隔等

对于每一个t，X(t)是一个随机变量，也称为在t时刻的过程状态，对于一些t∈T，X(t)的所有可能取值的全体成为随机过程的状态空间

对随机过程{X(t),t∈T} 进行一次试验，即在T上进行一次全程观测，其结果为t的函数，记为x(t),称之为样本函数或样本曲线

随机过程分类：

1)如果对于任意时刻的状态时连续变量，则该随机过程为连续型随机过程，如果为离散型变量，则为离散型随机过程

2)如果时间是连续的，则为连续参数随机过程，如果时间是离散的，则为离散参数过程或随机序列

3)根据分布特性划分：平稳过程，独立增量过程，马尔可夫过程

随机过程的统计描述

 

随机变量X(t)的分布函数一般与t有关，记为F_X(x,t)=P{X(t)<=x}，称之为随机过程的一维分布函数，n维分布函数为X(t1),X(t2)....X(tn) n个变量的联合分布

数字特征：

X(t)是一随机变量，其均值一般与t有关，记为υ_X(t) = E[X(t)] ，称之为随机过程的均值函数，υ_X(t) 为t时刻所有样本函数的函数值平均，成为集平均或统计平均

方差函数：Var[X(t)]=E{X(t)-E[X(t)]^2}=R(t,t)-υ(t)^2

自相关函数：R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]

协方差函数：C(t1,t2)=Cov[X(t1)X(t2)]=R(t1,t2)-υ(t1)υ(t2)

二维随机过程：

设X(t),Y(t)依赖于同一个参数t的随机过程，对于t，(X(t),Y(t))是二维随机变量，{(X(t),Y(t)),t∈T}为二维随机过程

独立增量过程：对于0<=s<t,称X(t)-X(s)为在区间(s,t]上的增量，如果对于任意n个区间对应的n个增量相互独立则这个随机过程为独立增量过程

特别的对于h和0<=s+h<t+h,X(t+h)-X(s+h)和X(t)-X(s)具有同样的分布，则称为增量具有平稳性，相对应的独立增量过程为齐次的或时齐的

 平稳随机过程：

对于认为的n(=1,2...),t1,t2,...tn和任意实数h，当t1+h,t2+h,...tn+h∈T 时，n维随机变量(X(t1),X(t2)...X(tn))

和(X(t1+h),X(t2+h)...X(tn+h)) 具有相同的分布函数，称这个随机过程为平稳随机过程，简称平稳过程，当参数为离散参数集时，也称平稳时间序列。

如果随机过程前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化，则一般认为该过程是平稳的。