时间序列中的平稳性概念

Shockang

于 2025-03-15 11:34:28 发布

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分类专栏：机器学习数学通关指南文章标签：人工智能机器学习数学时间序列分析

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📊 平稳随机过程的数学基础

在机器学习和时间序列分析中，平稳性（Stationarity）是一个核心概念，它决定了我们如何处理和分析连续变化的数据。平稳性描述的是随机过程的统计特性在时间上的不变性，具体分为严平稳和宽平稳两种类型。

1️⃣ 严平稳（Strictly Stationary Process）🔒

数学定义:
若随机过程 $\in T$ 满足：对于任意正整数 $n$ 、任意时间点 $t_1, t_2, \ldots, t_n \in T$ 及任意时间平移 $\tau$ ，其 $n$ 维随机变量
$(X(t_1), X(t_2), \ldots, X(t_n))$
和
$(X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \ldots, X(t_n+\tau))$
具有完全相同的分布函数，则称该过程为严平稳过程。

核心特征:

💯 所有统计特性（任意有限维分布）在时间平移下严格保持不变
🔄 任意维度的联合概率分布只取决于时间间隔，而非具体时间点
🌐 参数集 $T$ 需满足平移条件（如 $T=(-\infty,+\infty)$ 或满足平移要求的离散集合）

2️⃣ 宽平稳（Weakly Stationary Process）🔓

数学定义:
对于二阶矩过程 $\{X(t), t \in T\}$ ，若满足以下条件：

均值恒定:
$\mu_X$ (与时间 $t$ 无关的常数)
自相关函数仅依赖时间差:
$E[X(t)X(t+\tau)] = R_X(\tau)$ (仅与 $\tau$ 有关，与具体时间 $t$ 无关)

则称该过程为宽平稳过程（又称弱平稳或广义平稳）。

扩展概念:
当考虑两个过程 $X (t)$ 和 $Y (t)$ 时，若它们的互相关函数
$R_{XY}(t, t+\tau) = E[X(t)Y(t+\tau)] = R_{XY}(\tau)$
仅依赖 $\tau$ ，称两过程是联合平稳。

🔍 关键区别与联系

特性	严平稳	宽平稳
约束条件	所有统计特性不随时间变化	仅约束一阶矩(均值)和二阶矩(自相关)
验证难度	极高（需知道所有有限维分布）	相对容易（只需验证均值和自协方差）
实际应用	理论意义大于实践	广泛应用于实际分析中
互相关系	严平稳+有限二阶矩 → 宽平稳	宽平稳不一定严平稳
特殊情况	正态过程中，宽平稳等价于严平稳	-

⚖️ 平稳性判定的数学表示

严平稳是要求任意 $n$ 阶矩都满足时间平移不变性：
$E[X^n(t)] = E[X^n(t+\tau)]$

宽平稳仅要求：

一阶矩： $\mu$
二阶矩： $X(t+\tau)) = \gamma(\tau)$

🛠️ 实际应用中的重要性

1. 时间序列分析与预测 📈

ARIMA模型：依赖于数据的平稳性假设，非平稳数据需要通过差分等手段转换为平稳序列
平稳性检验：ADF检验、KPSS检验等统计方法用于验证时间序列的平稳性
季节性调整：移除数据中的周期性模式以达到平稳要求

# 平稳性检验示例代码
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

def check_stationarity(time_series):
    result = adfuller(time_series)
    print(f'ADF统计量: {result[0]}')
    print(f'p值: {result[1]}')
    print(f'临界值:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'\t{key}: {value}')
    
    # 判断是否平稳
    if result[1] <= 0.05:
        print("数据是平稳的")
    else:
        print("数据不是平稳的")

2. 信号处理与频谱分析 🔊

功率谱密度：宽平稳过程的自相关函数与功率谱密度通过维纳-辛钦公式（Wiener-Khinchin theorem）联系：
$S_X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau$
频谱估计：平稳假设使得我们可以通过有限样本估计信号的功率谱

3. 机器学习中的应用 🤖

特征工程：将非平稳时间序列转换为平稳特征，提高预测精度
神经网络输入：RNN和LSTM等模型在处理平稳数据时通常表现更好
异常检测：基于平稳性偏离程度的异常点识别

# 将非平稳时序转换为平稳序列
def make_stationary(series):
    # 方法1：差分法
    differenced = series.diff().dropna()
    
    # 方法2：对数变换（对处理异方差有效）
    log_transform = np.log(series)
    
    # 方法3：移动平均去趋势
    rolling_mean = series.rolling(window=12).mean()
    detrended = series - rolling_mean
    
    return differenced, log_transform, detrended