拉格朗日乘子法(Lagrange Multipliers)学习笔记

最新推荐文章于 2025-01-12 19:28:40 发布
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#学习 #笔记 #算法

本文是一篇关于拉格朗日乘子法的学习笔记，作者通过解决多个实际题目来介绍如何运用该方法解决约束优化问题。拉格朗日乘子法的核心是在约束条件下找到目标函数的最大值和最小值，其几何意义涉及曲线的切线方向。文中提到，当目标函数与约束函数的梯度平行时，可能出现最值。文章建议读者观看相关视频以加深理解。

这篇文章作为自己学习拉格朗日乘子法的一些学习笔记，因为自己很早就接触过拉格朗日乘子法，但是当时完全不知道原理是啥，随着自己接触的东西越来越多，很多涉及到优化相关的技术需要使用到拉格朗日乘子法，因此又重新去看了关于拉格朗日乘子法相关的一些内容，特别是一些国外的视频讲解(下面所有的视频链接需要好好上网)，觉得有些收获，因此写下这篇笔记。

1 利用拉格朗日乘子法来解决几个题目

首先，先不去探究拉格朗日乘子法中的原理，首先利用拉格朗日乘子法来解决几道题目，来直观感受一下拉格朗日法的流程，这里贴几道视频中的截图。

1.1 题目1

目标函数为 f ( x , y , z ) = 3 x 2 + y 2 − 2 z 2 f(x,y,z)=3x^2+y^2-2z^2 f(x,y,z)=3x2+y2−2z2，约束为 3 x + 2 y − 8 z = − 50 3x+2y-8z=-50 3x+2y−8z=−50，求目标函数的最小值和最大值。

用拉格朗日法解决这种最值问题一般形式为给定 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)，以及 g ( x , y , z ) = k g(x,y,z)=k g(x,y,z)=k, 然后使用拉格朗日乘子法，引入拉格朗日乘子 λ \lambda λ,然后求解关于 x , y , z , λ x,y,z,\lambda

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Lagrange_Multipliers-master_不等式约束_拉格朗日_拉格朗日乘数法_拉格朗日约束_拉格朗日乘数_
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给定一个凸集χ\chiχ,如果对于所有xx′∈Xxx′∈X和所有λ∈01λ∈01, 函数fX→RfX→R是凸的，我们可以得到λfx1−λfx′≥fλx1−λx′λfx1−λfx′≥fλx1−λx′凸函数在定义域上的任意两点之间的割线总在这两点连线的上方或者重合。当一个函数的二阶导数存在且大于0时，函数为凸函数。
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【数理知识】拉格朗日乘数 Lagrange multipliers
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增广拉格朗日乘子法（Augmented Lagrange Method）
06-01
增广拉格朗日乘子法是一种求解约束优化问题的方法。它是基于拉格朗日乘子法的思想，通过引入惩罚项来处理约束条件，从而将原问题转化为一个无约束优化问题。 具体地说，增广拉格朗日乘子法的基本思路是：对于一个带有约束条件的优化问题，我们将其转化为一个带有惩罚项的无约束优化问题，然后通过不断调整惩罚项的系数来逼近原问题的最优解。 具体地，设原问题为： $$\min_{x\in\mathbb{R}^n}f(x)$$ $$\text{s.t. }g_i(x)\leq 0, i=1,\ldots,m$$ 其中，$f(x)$和$g_i(x)$均为连续可微的函数。那么，我们将上述问题转化为： $$\min_{x\in\mathbb{R}^n}\max_{\lambda\in\mathbb{R}^m_+}L(x,\lambda)$$ 其中，$L(x,\lambda)$为拉格朗日函数： $$L(x,\lambda)=f(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_ig_i(x)$$ 然后，我们再引入一个惩罚项，得到如下优化问题： $$\min_{x\in\mathbb{R}^n}\max_{\lambda\in\mathbb{R}^m_+}L(x,\lambda)+\frac{\rho}{2}\sum_{i=1}^mg_i^2(x)$$ 其中，$\rho$为惩罚系数，$\mathbb{R}^m_+$表示非负实数集合。通过不断调整$\rho$的大小，我们可以逐步逼近原问题的最优解。 需要注意的是，增广拉格朗日乘子法并不保证收敛到全局最优解，但通常能够得到较好的近似解。此外，增广拉格朗日乘子法的计算量较大，因此在实际应用中需要考虑时间和空间复杂度等问题。
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