拉格朗日乘数(Lagrange Multiplier)

本文介绍了拉格朗日乘数法在解决约束条件下求解函数最优化问题的应用,特别是在寻找旋转矩阵U使得向量Xn到Yn变换的能量残差最小的问题中。通过极分解方法解决含大量未知数的优化问题,并讨论了在特征值为零时的处理策略。

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拉格朗日乘数研究函數在一些限制Constraint下的極限條件。如果一個函數有n個未知數和k個限制,要求其最優解,拉格朗日引入了k個新的變量與函數並立,表面上函數變得更加複雜,其實是簡化問題的方法。

所謂最優化問題就是某個函數的極限狀態。比如求一個斜坡上皮球勢能函數的最大處,未知數是皮球的高度,斜坡就是限制條件,皮球只能沿著斜坡表面運動。抽象來說,要進行最優化的函數為

e(x1, x2, ..., xn)

是n個未知數的函數。限制條件記為:

f(x1, x2, ..., xn)=0

引入拉格朗日乘数lambda,把兩式子連立起來得到:

g=e(x1, x2, ..., xn) + lambda f(x1, x2, ... ,xn) = g(x1, x2, ..., xn, lambda1, lambda2, ...lambdak )

這樣,求解函數在某個限制條件下的最優解X等價於求解上述方程g的極值。下面來看一個具體的例子。


旋轉向量組的最佳擬合

已知一系列向量Xn經過某種變換或成為了Yn,現在,要用一個矩陣U來表示這個變換,應當如何選取U。由於Xn的向量是任意變換,有可能剛好把Xn對應到Yn的矩陣根本就沒有,所以需要找一個比較近似的最佳擬合。所謂最佳,就是其residual能量的值最小。

設向量維度為m,則Xn, Yn是m乘1矩陣, U是一個n乘m矩陣。 限制條件是U滿足旋轉矩陣的屬性。


首先分析以上方程組。(1)的未知數是U,一共有n*m個未知數。E也叫能量函數,是一個標量。(2)F的是一個n*m矩陣。所以(3)中的labda必須是一個算子,它引入了n*m個拉格朗日乘数, 把F裡所有元素與一個乘數相乘並求和。對(3)式子求導並令它為零就可以得到需要的U值。

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