复杂度分析

本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程

数据结构和算法 解决快与省的问题 即如何让代码运行的更快，如何让代码更省存储空间

复杂度描述的是算法执行时间（或占用空间）与数据规模的增长关系

事后统计法，也就是跑一遍代码，就可以得到执行时间和占用内存大小。其局限性在于：结果非常依赖测试环境，比如处理器不同，硬件不同，导致结果可能不一样。还有一点是测试结果受数据规模的影响很大

大O复杂度表示法
所有代码的执行时间，与每行代码的执行次数成正比
T（n） = O(f(n))

常量、系数三部分并不左右增长趋势，只需要记录一个最大级就可以了，
T (n) = O (n); T（n）= O(n^2)

时间复杂度分析
只关注循环次数最多的一段代码

加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
T(n) =O(max(f(n), g(n)))

乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
T(n)=O(f(n)*g(n))

常用的复杂度级别？
多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。包括，
O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n^{2)（平方阶）、O(n}3)（立方阶）
非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括，
O(2^n)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）

O(1): 一般情况下，只要算法中下存在循环语句、递归语句，即使成千上万行的代码，其时间复杂度也是O(1)。

O(logn) O(nlogn)
对数阶的复杂度很常见，但比较难分析。看下面的一段伪代码

for(int i = 1; i < n; i++)[
	i = i * 2;
}

i 的值是一个等比数列，首项为1，公比为2，如果代码运行的次数为x ，则2^x = n 可得出x = log2n。它的复杂度就是O(log2n) 根据对数的性质，log2n = logn * 常数，对于时间复杂度，常数可省略。得到此伪代码的复杂度 O(logn)