旅馆房间门的着色算法

旅馆房间门的着色

有一由8个房间组成的圆形旅馆，没有房间号码。经理别出心裁，想将门分别着上蓝色或者黄色之一，将这8个房间分开来，问怎样对门进行着色可以达到要求？
考虑8个门的一种着色分案a[0] a[1] …a[7]，若门着黄色，则相应的a[i]=0，着兰色，则a[i]=1。显然只根据一个门的频色是无法将它同其它房间区分开来的，根据两个门的颜色也不可能区分开八个房间，因为两种颜色的2组合仅有4种可能性，这相当于两位二进制数只有4种一样。
由于3位二进制数共有8个，若我们对房间门的着色进行合理安排，使得连续三个门的着色没有相同的情况，这样就可能完成题目的要求。那么，这样的安排是否存在呢?下面我们设计程序来寻找我相应的着色方案。
由于总有连续的三个门颜色均为黄色，我们不妨从这里开始考虑后面5个门的着色情况，对每个门的着色是一个试探的过程，对第i(2<i<7)个门的着色是可行的，当且仅当a[i-2]a[i-1]a[i] 不出现在序列a[0]a[1]...a[i-1]中，当i=7时，除要求a[5]a[6]a[7]不出现在a[0]a[1]...a[6]中外，还必须要求a[6]a[7]a[0]不在a[0]a[1]...a[6]a[7]中，且a[7]a[0]a[1]不在 a[0]a[1]...a[6]a[7]a[0]中。
事实上，上面的条件表示对于任给的不同i,j，a[i]a[i+1]a[i+2] ≠a[j]a[j+1]a[j+2]，这里0≤i<j≤7，且a[8]=a[0],a[9]=a[2]。
在试探的过程中，也许会发现某个房间门的颜色无论怎样安排均不能满足问题的要求，例如对于部分解序列000100，第6个门不管是着黄色(0)，还是着兰色(1)都不允许，其原因在于前面门着色不当，因此，遇到这种情况就必须进行回溯。
可以采用回溯法来编制一个问题求解程序。
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如果用图的术语来描述上述问题，相当于求有向图G上的一条Hamilton有向回路，其中G的顶点集为V={xyz|x,y,z=0或1}，G的边集为E={<xyz,yzw>|xyz,yzw∈V}。画出一个8点的图，容易找出其中的一条Hamilton有向回路，例如00011101，一般地，若Hamilton回路标记为a[0]a[1]a[2],a[1]a[2]a[3],...,a[n-1]a[0]a[1]，则着色方案为a[0]a[1]...a[n-1] 。
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问题也可以按另一种思路用图的术语加以描述。定义图G=<V,E>为：
  V={xy|x,y=0或1}
  E={<xy,yz>|xy,yz∈V}
并对每一条边<xy,yz>标记上01串xyz。显然图G中每一顶点的出度和入度均为2，因此图G上存在有向Euler回路，即经过每条边一次且仅一次的回路，在该回路中，相邻的两条边xyz,uvw有y=u,z=v成立，因为它们同时与一个顶点相关，从而该回路可以表示为a[0]a[1]a[2],a[1]a[2]a[3],...,a[n-1]a[0]a[1],这里n=8,它对应旅馆门的着色序列a[0]a[1]...a[n-1]。
对于上面的图，一条Euler回路为000，001，010，101，011，111，110，100从而，对应的着色方案为：00010111。
应用这一模型，对于旅馆房间数为2^n的着色问题都可以容易地解决，以下是n=4时的一种方案：0000，0001，0011，0111，1111，1110，1100，1001，0010，0101，1011，0110，1101，1010，0100，1000，对应的着色方案为：0000111100101101。
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当房间数k不是2^n时，对于求Hamilton回路的模型，问题变成求长度为k的有向回路，且每一顶点只能访问一次，而对于求Euler回路的模型，则要求求长为k的有向回路。无论k是什么数，Euler回路模型的求解总比Hamilton回路模型要简单得多。