二次剩余

求解x² ≡ n (mod p) 的一个方法（已知 n， p ， 求 x ）

如果存在一个 X, 满足 x² ≡ n (mod p) ,那么我们称 n 是模 p 的二次剩余，否则 n 是模p 的非二次剩余

代码模板

求b对模p的二次剩余，即 x² ≡ b (mod p ), 求x（对b == 0 的情况需特殊判断）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int k;
ll a,p,w;
struct T{
	ll x,y;
};
T mul_two(T a,T b,ll p){
   T ans;
   ans.x=(a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p)%p;
   ans.y=(a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)%p;
   return ans;
}
T qpow_two(T a,ll n,ll p){
   T ans;
   ans.x=1;
   ans.y=0;
   while(n){
      if(n&1) ans=mul_two(ans,a,p);
      n>>=1;
      a=mul_two(a,a,p);
   }
   return ans;
}

ll qpow(ll a,ll n,ll p){
   ll ans=1;
   a%=p;
   while(n){
      if(n&1) ans=ans*a%p;
      n>>=1;
      a=a*a%p;
   }
   return ans%p;
}
ll Legendre(ll a,ll p){
   return qpow(a,(p-1)>>1,p);
}
int solve(ll n,ll p){
   if(p==2) return 1;
   if(Legendre(n,p)+1==p) return -1;
   ll a,t;
   while(1){
      a=rand()%p;
      t=a*a-n;
      w=(t%p+p)%p;
      if(Legendre(w,p)+1==p) break;
   }
   T tmp;
   tmp.x=a;
   tmp.y=1;
   T ans=qpow_two(tmp,(p+1)>>1,p);
   return ans.x;
}
int main(){
   scanf("%d",&k);
   while(k--){
      scanf("%lld%lld",&a,&p);
      int d = solve(a,p);
      if(d == -1){
         printf("No root\n");
         continue;
      }
      int f = p - d;
      if(d > f) swap(d,f);
      if(d == f) printf("%d\n",d);
      else printf("%d %d\n",d,f);
   }
    return 0;
}