线性代数笔记

参考资料《空间解析几何与线性代数》 ISBN 7-11-14572-0/O*393，机械工业出版社。

过一遍线性代数的一些知识点，方便今后做空间几何的时候少点障碍。

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丛书清单：

高等工科数学系列课程教材
工科数学分析教程
空间解析几何与线性代数
概率论与数理统计
复变函数论与运算微积分
计算技术与程序设计
最优化方法
数学物理方程

线性方程组是线性代数的基础。

搞清楚三个概念

1. 行列式概念的形成
2. 行列式的基本性质及计算方法
3. 利用行列式求解线性方程组

行列式

二阶、三阶行列式

先来解含两个未知量$x_1,x_2$的线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1.1)}$$

如果想消元$x_1$得到$x_2$，就将第一行都乘以$a_{21}$，第二行乘以$a_{11}$

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{21}{x}_1+a_{12}{a}_{21}{x}_2=a_{21}{b}_1\\ a_{11}{a}_{21}{x}_1+a_{11}{a}_{22}{x}_2=a_{11}{b}_2\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1.2)}$$

两个式子相减就能得出只有$x_2$的一个式子

$$\begin{gathered} (a_{12}{a}_{21}-a_{11}{a}_{22})x_2=a_{21}{b}_1-a_{11}{b}_2 \\ {x}_2=\frac{a_{21}{b}_1-a_{11}{b}_2}{a_{12}{a}_{21}-a_{11}{a}_{22}} \end{gathered}$$

求$x_1$也一样

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{a}_{22}{a}_{11}{x}_1+a_{22}{a}_{12}{x}_2=a_{22}{b}_1\\ a_{12}{a}_{21}{x}_1+a_{22}{a}_{12}{x}_2=a_{12}{b}_2\end{array} \\ {x}_1=\frac{a_{22}{b}_1-a_{12}{b}_2}{a_{22}{a}_{11}-a_{12}{a}_{21}}\text{\hspace{1em}(1.1.3)} \end{gathered}$$

现在开始定义一个新的运算式子

$$x_1=\frac{b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}$$

$$x_2=\frac{a_{21}{b}_1-a_{11}{b}_2}{a_{12}{a}_{21}-a_{11}{a}_{22}}$$

定义运算，二阶行列式的定义

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}$$

主对角线\

次对角线/

三阶行列式展开。三个正向，三个负向，六个项目。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=1\ast 5\ast 9+2\ast 6\ast 7+4\ast 8\ast 3-3\ast 5\ast 7-4\ast 2\ast 9-6\ast 8\ast 1$$

这个画出来就是个环绕的方式。

排列

由1,2,…,n组成的一个有序数组，叫做n级排列。

n级排列 = n(n-1) … 321 = n!

逆序：大数排在小数前面。符号计为N

逆序数：从第一个开始数逆序总数

$$N(4213)=3+1=4$$

4后面有3个比它小的数，2后面只有1个比它小的数，1后面没有比它小的数，3后面也没有比它小的数。所以逆序数为4。

逆序数数字为奇数，就是奇排列，反之就是偶排列。

标准排列（自然排列）

$$N(123...N)=0$$

$$N(n(n-1)...321)=n-1+n-2...+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$$

差数求和公式。

对换

概念：交换两个数。

N(5 4 2 1 3)

将1，3对换，就变成了

N(5 4 2 1 3)

一个逆序数做一次对换，奇偶性质会变换一次。交换奇数次，奇偶性改变；交换偶数次奇偶性不变。

定理：n级排列中，奇排列、偶排列各占$\frac{n!}{2}$

n阶行列式的定义

如果划线，4阶行列式=24根线。

先引入三阶行列式：

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}+a_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$$

行标=标准排列 1 2 3

列表=其实就是取了排列的所有可能。从不同行，不同列取出3个元素相乘。将排列的偶排列数-奇排列的数字。

123  0
231  2    偶排列+
312  2
--------
321  3
213  1    奇排列-
132  1

所以n阶行列式展开，就能通过按行展开定义。

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a12& ...& a_{1n}\\ a_{11}& a12& ...& a_{1n}\\ ...& ...& ...& \\ a_{n1}& an2& ...& a_{nn}\end{array}\right|=\sum _J^I{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}...a_{n{j}_n} \\ J=j_1,j_2...j_n \\ I=N(i_1,i_2...i_n) \\ D=|a_{ij}| \end{gathered}$$

当行列式大量都是为0的情况下计算展开，能直接计算出来它的值。

其他23个行列式由于都会算到和0相乘，所以都会变成零，可以不去管它们。最终只有这个式子。只需要对2341做奇偶性排列的判断，之后就能确定最终数值。

$$\left|\begin{array}{cccc}0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 4\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{N(2341)}2\ast 3\ast 4\ast 1=-1\ast 24$$

下三角行列式 主对角线元素相乘。就是主对角线相乘

上三行列式 次对角线元素相乘。

行列式性质

行列式的转置就是行转成列，列传成行。转两次之后就等于自身。转置值不变。

$$D^T=D$$

性质1：行列式转置之后，对于行成立的性质，对转置之后的列也成立。

性质2：一个行列式的两个行做交换之后得到的行列式，符号相反。
推论：行列式如果有两行（列）完全相同，行列式是为0

证明：原理就是列不变，行标变了一次，和上一章节里面的逆数中的定理，排列里面数字交换一次，奇偶性取反。行列式展开的每一项都会是如此，所以符号会取反。

性质4：某行有公因子，可以提出去到行列式外面。
变成了标量乘法。

性质5：两列行列式对应程比例，D=0
基于4，先将倍率提取到外面，这样就有两行相同的。

性质6：是和的那一行分开，其他行保持不变，拆开之后相加。

这个很容易弄错。

性质7：行列式某行乘以一个数，加到另一行上去，行列式的值不变。
其实就是先使用性质6，分离出两个行列式；用提取倍率出去，而且里面两行相同行列式就为0了。

性质7非常非常重要，出错的人特别多。

例题推算

一般纯数字的行列式都是被转换成一个上三角行列式。

消除掉行列式的值，其实就是将行上的值乘上数字，加到对应行上去，这样消掉对应那个位置的数字。行列式性质53"59’

做题，先将有数字1的行要交换上去。先按照规范（用一列消第二列，然后用第二列消第三列，一次来类推，在处理第三行的时候，第二行不再参与运算—原因来自于这样解题会无法结束。其实这个解体类似于解开魔方）来解体，这样反而简单。

第七条定理用得非常频繁，也非常容易让人用的时候糊涂。最好看一下原视频的论述，非常精彩。

行列式按行展开

行列式按行展开
异乘变零定理
行列式相乘定理

余子式

找到行列式中的某个数字，将它所在的行、列都删除剩下的元素组成的行列式。余子式一般都使用 $M_{12}$ 来表示。

代数余子式

在n阶行列式中，把元素aₒₑ所在的第o行和第e列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aₒₑi的余子式，记作Mₒₑ，将余子式Mₒₑ再乘以-1的o+e次幂记为Aₒₑ，Aₒₑ叫做元素aₒₑ的代数余子式。代数余子式的符号是 $A_{12}$。

按行展开

行列式按（列）展开： 行列式的值=某个元素值乘以的自己的代数余子式。

好处可以降低阶数。

选择0比较多的行或列展开。

异乘变零：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和=0

拉普拉斯定理

k阶子式。

举例子二阶子式

取两行，两列两行两列相交的数字取出来，就是二阶子式。

去掉所选取的行列的数字，组成的行列式就是二阶余子式。

代数余子式，就是余子式前面加上一个符号，符号决定于，所取行列来决定余子式。

取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与余子式乘积之和=D。

当有成片的0出现的时候，使用这个展开式，将会很快能计算出结果。

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0& 0\\ 1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 8& 8& 8& 3& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|(-1{)}^{1+2+1+2}\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 1& 1& 1\\ 8& 3& 1\end{array}\right|$$

行列式相乘

只有同阶行列式才能相乘，如果非同阶的行列式，可以将他们的值算出来，直接相乘。如果是为了计算行列式的最终值，其实用的不算太多。
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}5& 7& 6\\ 2& 4& 6\\ 9& 6& 3\end{array}\right|$$

前面式子的行$\times$后面式子的列相乘累加。

行列式的计算（一）

考试的时候，基本上都是在考计算行列式的结果，需要利用之前学习的行列式性质，定理来展开。

1. 如果是纯数字的行列式，先老老实实的化成上三角行列式。

$$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 7& -1\\ -1& 2& 4& 3\\ 2& 1& 0& -1\\ 3& 2& 2& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 7& -1\\ 0& 2& 4& 3\\ 0& 0& ...& ...\\ 0& 0& 0& ...\end{array}\right|$$

消元套路是使用 行列式性质里面第7号特性。先将$a_{21}$位置消元。如同瀑布一样，使用第二行开始将第三行的第二个元素消元。

如果$a_{11}$就是0，就是将某一行加上第一行，放入第一行。

要想办法将第一行的消元的数字变小，避免分数来当作消元元素来计算，造成自己出现很多失误。

2. 对行列式，求某一行的余子式的相加

余子式累加实例24"51’讲解

这个解题一共3步骤推导：

1.余子式变成代数余子式，如果需要保持值不变，需要给式子配上符号；
2.将代数余子式提取出来，余子式和代数余子式符号不相同但是值相同；
3.将其他行都拿过来，将刚刚推出来的余子式的符号写入新的行列式；（还需要再看一次）
4.计算行列式的时候，选择行列式中0多的，然后计算。

思路是构造成新的一个行列式，然后算出最终值。原因是直接计算余子式，展开的项目太多了。

3. 未知数提取
   $$\left|\begin{array}{cccc}x& a& ...& a\end{array}\right|$$

行列式的计算（二）

之前的解题思路总结：

1. 将行列式转换成上三角；
2. 将某行或列尽可能化成0，然后按行展开；

例6：

$$\left|\begin{array}{ccccc}1+a_1& 1& 1& ...& 1\\ 1& 1+a_2& 1& ...& 1\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 1& 1& 1& ...& 1+a_n\end{array}\right|$$

步骤：

1.加行加列

又叫做加边法

准则：加边之后不能改变原行列式的值。

增加一行全部都写1，最前面增加一列，全部都写0。

实际做题很少使用的。

三叉戟行列式都是对角线上的数字，将首列的数字消元。

有字母，放到分母，一定要注意字母需要对非零的约束。

书签1(15’22")

$$\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& ...& 1\\ 0& 1+a_1& 1& 1& ...& 1\\ 0& 1& 1+a_2& 1& ...& 1\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 1& 1& 1& ...& 1+a_n\end{array}\right|$$

这里不变值原因来自于余子式相等。

2.将第一行$\times$-1加到剩余行

消元之后获得一个三叉戟行列式

$$\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& ...& 1\\ -1& a_1& & & & \\ -1& & 1+a_2& & & \\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ -1& & & & ...& a_n\end{array}\right|$$

范德蒙德行列式

例7：

$$\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& ...& 1\\ x_1& x_2& 1x_3& x_4& ...& x_n\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ x_1^{n-2}& x_2^{n-2}& x_3^{n-2}& x_4^{n-2}& ...& x_n^{n-2}\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& x_4^{n-1}& ...& x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$$

其实第一行是0次幂运算。

$\prod$ 符号其实是连乘符号，和 $\sum$ 连加符号类似的模式，只是符号不相同。

公式里面两处很容易错：

j < i，其他的值域限定都是 $\le$，其实也好理解 i = j的时候，会直接造成相减为0，这样行列式的值就直接=0。

相减的时候是 $x_i-x_j$ ，这一点宋老师在课堂里面都写错过一次。

如果n=5的情况，写出结果来。

固定 j = 1

$(x_2-x1)\ast (x_3-x_1)\ast (x_4-x_1)\ast (x_5-x_1)$

固定 j = 2

$(x_3-x_2)\ast (x_4-x_2)\ast (x_5-x_2)$

…

书签2(25’27")

证明过程需要使用到的技巧：

1. 某一行乘上一个数，加到某一行去；定理7，这种是经常使用的；
2. 数学归纳法—先证明2阶的，然后推算n阶和n-1阶，就能全部证明；
3. 当某一列都乘以了某个数字，就可以将数字提取到行列式外；
4. 使用减边法将行列式维度降低；

在出题的时候，不会直白的给你说是范德蒙德行列式，通过两步隐藏起来。

1. 将指数运算藏起来；
2. 将行列式转置；

例8： 反对称行列式、对称行列式

定义：

反对称行列式：

奇数阶的行列式的值是为0的。

$$\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ -1& 0& -5& 6\\ -2& 5& 0& -8\\ -3& -6& 8& 0\end{array}\right|$$

1. 主对角线全为零；
2. 对称位置符号相反；$a_{ij}=-a_{ji}$

奇数阶的行列式的值是为0的。

证明过程：

1. 先使用3阶的行列式；
2. 将全部行列都提取一个-1；
3. 将会发现行列式变成了转置行列式；
4. 而且转置行列式的值和原始值保持不变$D^t=D$，所以能推算出0；

对称行列式：

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right|$$

1. 主对角线任意数值；
2. 对称位置完全相同；$a_{ij}=a_{ji}$

书签3(44’19")

后续的对称矩阵、反对称矩阵和行列式的定义是一样的。

克莱姆法则 Cramer 法则

用来解方程组的。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2+5x_3=6\\ -x_1+x_2+6x_3=9\end{array}$$

3个方程，3个未知数。

应用条件：

1. n方程式个数和n未知数相同。

2. 系数行列式，其实就是提取了系数形成的行列式；行列式的值不能为0。$D\ne 0$。看到后面才会知道，D将会作为除数，一旦=0，就完蛋了。

定义4个行列式的值：

D为原始的，$D_1$是将第一列全部数字都替换成方程组的值这一列，以此类推。

$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 5\\ -1& 1& 6\end{array}\right|D_1=\left|\begin{array}{ccc}(1)& 1& 1\\ (6)& -1& 5\\ (9)& 1& 6\end{array}\right|D_2=\left|\begin{array}{ccc}1& (1)& 1\\ 1& (6)& 5\\ -1& (9)& 6\end{array}\right|D_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& (1)\\ 1& -1& (6)\\ -1& 1& (9)\end{array}\right|$$

最终公式为：

$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},x_3=\frac{D_3}{D}$$

克莱姆法则其实不适合人类计算，但是非常适合计算机来运算解题。

注： 齐次方程组：当方程组的常数项都为0的情况，就是齐次方程组。（课堂里第一次提到这个概念）

定理：

齐次方程组：

有非零解的充要条件是$D=0$

$D\ne 0$，只有零解

2. 矩阵 Matrix

矩阵概念

有了行列式，为什么要出一个矩阵的概念。

$行\times 列$ 矩阵，是数表。

$A_{2\times 3}$。

矩阵和行列式的区别：

	行列式	矩阵
本质	一个数字	数表
符号	|	(（注{大括号在行列式里面不会使用。）
形状	行数=列数	行数可以不等于列数
提公因子	一行提一次	全部的元素的公因子提一次

矩阵里面有实数矩阵、复数矩阵。

零矩阵

元素都为0的矩阵。

负矩阵

A -A

矩阵行列相等就是方阵

$A_{n\times n}=A_n$

单位矩阵

符号用E,I，一定是方阵。

$$E,I=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)$$

除了主对角线都为1，其他都为0。

矩阵相等前提是同形矩阵。

零矩阵可能不相等，因为可能不同形状。

方阵才有主对角线，此对角线。

矩阵运算（一）

线性代数有176个知识点。老师打印了一张A4纸，两面写满。

加法

同形矩阵才能加，对应元素能加减。

减法

同形矩阵才能减，对应元素能加减。

运算交换律，结合律都满足。

数乘

其实就是将一个标量与矩阵相乘。

提公因子

矩阵的所有元素均有公因子，才能对外提一次公因子。

行列式提公因子是一行提一次。

乘法的结合律和交换律是合适用的。

矩阵的乘法（非常重要）

看起来很容易，其实做题很多坑。

书签4-14’19"

矩阵乘法速记

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

$$A_{2\times 3}\times B_2$$

矩阵相乘前提条件：

第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数。

相乘结果：

行数第一个矩阵相等。

列数和第二个矩阵相等。

宋老师七字口诀：

$$A_{3\times 4}{B}_{4\times 5}$$

中间相等，取两头。

其实就是罗列矩阵的下标数字：

3,4,4,5

中间数字： 4,4相等，就能乘；

取两头： 3,5 这就是结果的矩阵的形状。

$$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ 4& 3& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\\ -3& 6\end{array}\right)=?$$

得出公式：

$$A_{2\times 3}{B}_{3\times 2}=C_{2\times 2}$$

乘法不满足的三规律

1. 乘法是不满足交换律

$$AB\ne BA$$

AB能相乘的情况下，BA都可能不能乘。

但是也有可能存在AB可交换。

AB读的时候：

A左乘B

B右乘A

2. 由AB=0,无法推理出A=0或者B=0。

3. 推理相等

$$AB=AC,A\ne 0$$无法推理出 $$B=C$$

与零矩阵相乘

都是相乘之后就等0。

与E（单位矩阵）相乘

AE=A EB=B

结合律分配律

在结合分配率使用的时候，位置一定不变。

结合律：(AB)C=A(BC)
分配律：(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB
数乘：k(AB)=(kA)B=A(kB)

例6：可交换

1. 其实按矩阵乘法展开；
2. 列出方程式；
3. 最后获得答案；

其实有规律，两个矩阵是同阶的方阵，才能做这个计算。

例7：

从方程组转换成为矩阵。

使用矩阵相乘获取最终的答案。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y2\end{array}\{\begin{array}{l}{y}_1=z_1+z_2+z_3\\ y2=z_1+2z_2+z3\end{array}\{\begin{array}{l}{z}_1=u_1+u_2\\ z_2=u_1+0u_2\\ z_2=-u_1+u_2\end{array}$$

如何将

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

数值计算出来？

矩阵运算（二）

矩阵幂运算

$A^k=\underset{k个}{\underbrace{AA...A}}$

定义：

$A^0=E$

性质1：

$A^{K_1}{A}^{K_2}=A^{(}{k}_1+k2)$

性质2：

$(A^{k_1}{)}^{k_2}=A^{k_1{k}_2}$

性质3：

一般来说：

$(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$

$(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$

还是来自于AB和BA不相等造成的。

$(A-B{)}^2\ne A^2-2AB+B^2$

如果B=E单位向量，那就是成立的。

例八：

思维锻炼方法，告辞米的时候，需要跳出来做。

去将一个中间的数字计算出一个常数，然后提取出来。

转置

$A^T$

和行列式的转置是完全一样的。

$A_{m\times n}^T=A_{n\times m}$

性质：

$(A^T{)}^T=A$

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

$(kA{)}^T=k{A}^T$

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

特殊矩阵

数量矩阵

只有主对角线有值，且相等。

对角形矩阵

只有主对角线有值，且有一串数字。

数学符号：

$╲$

$diag(a_1,a_2,...,a_n)$

对角形矩阵左乘与右乘相同的方阵，刚好是转置的。

三角形矩阵

主对角线上部非零，下部都是0，就是上三角矩阵。

主对角线下部非零，下部都是0，就是下三角矩阵。

对称矩阵

对称矩阵有个性质

$a_{ij}=a_{ji}$

本质上是：

$A^T=A$

定理1：

$A,B对称\rightleftarrows AB可交换$

例2

反对称矩阵

$a_{ij}=-a_{ji}，a_{ii}=0$

$A^T=-A$

逆矩阵（一）

逆矩阵就是将两个逆矩阵相乘之后能得到单位向量。

一定不要把矩阵放到分母的位置上。

方阵的行列式。

矩阵式有很多属性，但是行列式是一个数字。

$$矩阵\{\begin{array}{l}特值\\ 特量\\ 行列式\\ ...\end{array}$$

获取矩阵的行列式，其实就是将它的属性提取出来。

方阵的行列式

性质1：

$$\left|A^T\right|=\left|A\right|$$

原理就是行列式转置，值不变。

• 性质2：

$$\left|kA\right|=k^n\left|A\right|$$

行列式和矩阵提取的方式不一样造成。

性质3：

$$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$$

伴随矩阵

只有方阵才有伴随矩阵。

1. 求出全部元素的代数余子式；
2. 按照行求的代数余子式，按照列放，构成一个矩阵就是伴随矩阵；

数学符号：

$A^{\ast }$

口诀：

按行求，按列放

定理1：

对于任意的一个方阵都成立。

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left|A\right|E$

证明过程：

代数余子式乘以自己本身就是行列式的值，否则就是0；定理就是异乘变零定理，章节1.3里面写过；

推论2.4.1

前提条件:

$\left|A\right|\ne 0$

$\left|A^{\ast }\right|={\left|A\right|}^{n-1}$

后续再证明当不等0的情况也合适。

逆矩阵（二）

逆矩阵定义： A是n阶方阵，存在n阶方阵B， AB=BA=E

$A^{-}1=B$

但是方阵一定不要放到分母中！

1. 未必所有方阵都可逆；

2. 若可逆，逆矩阵唯一；

证明是通过结合律。

？ 如何判断是否可逆；

？ 如何求出逆矩阵；

参考

• [1] markdown公式1
• [2] 求解线性方程组实例
• [3] 宋洁老师-行列式
• [4] 3Blue1Brown
• [5] 在线LaTex工具