ergevv的博客

本文讨论了向量函数 (\mathbf{v}_1 = \mathbf{f}(\mathbf{v}_2)) 的雅可比矩阵计算问题。当(\mathbf{v}_1 = R\mathbf{v}_2)（(R)为常数矩阵）时，雅可比矩阵(\frac{d\mathbf{v}_1}{d\mathbf{v}_2} = R)。特别地，(\mathbf{v}_1)第一个元素对(\mathbf{v}_2)的偏导数对应于矩阵(R)的第一行元素。该结果验证了分子布局下雅可比矩阵的结构，说明向量函数的导数可以直接由变换矩阵表示。

本文阐述了旋转矩阵的产生及其几何意义。通过固定向量在两个正交坐标系下的坐标变换关系，推导出旋转矩阵$R$的表达式：$R$的每一列对应旋转后新坐标系基向量在原坐标系中的坐标表示。以绕z轴旋转为例，验证了该理论，说明旋转矩阵的列向量满足正交归一性，且行列式为+1。同时指出$R$的行向量表示原基向量在新坐标系中的坐标。这种列/行视角的对应关系揭示了旋转矩阵的几何本质。

本文介绍了考虑空气阻力的运动模型及卡尔曼滤波方法。运动模型中，空气阻力公式为 ( F = \frac{1}{2} \rho v^2 C_d A )，其中速度平方项对阻力影响显著。状态向量包含位置和速度分量，动力学方程描述了非线性运动过程，离散化后可用于数值计算。卡尔曼滤波部分包括线性卡尔曼滤波（KF）和扩展卡尔曼滤波（EKF），KF适用于线性高斯系统，而EKF通过局部线性化处理非线性问题。EKF的核心是利用雅可比矩阵对非线性函数进行近似，并沿用KF框架进行状态估计和协方差更新。文章详细推导了状态预测和协方差

拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为复频域函数的积分变换，由法国数学家拉普拉斯提出。其定义为单边积分 ( F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt )，能将微分方程转换为代数方程，简化求解过程。拉氏变换具有线性性质，满足可加性和齐次性。通过微分定理，可将微分运算转化为代数运算，广泛应用于微分方程求解。例如，在求解二阶微分方程时，拉氏变换可将方程转换为复频域形式，经代数运算和反变换后得到时域解。

摘要：给定坐标系C中W坐标系的x轴方向向量𝐯ₓ和z轴方向向量𝐯_z（满足单位长度和正交性），可通过叉积𝐯_y=𝐯_z×𝐯ₓ得到y轴向量。旋转矩阵R的转置Rᵀ由这三个正交向量构成列向量[Rᵀ=[𝐯ₓ 𝐯_y 𝐯_z]]，从而将点从C系转换到W系(𝐩_w=R𝐩_c)。该旋转矩阵实现了坐标系间的姿态转换。

三维空间中旋转角度的正负由右手法则确定：拇指指向旋转轴正方向时，四指弯曲方向为正向（逆时针）。旋转矩阵通过罗德里格斯公式构造，其中θ为带符号的旋转角度，K为旋转轴单位向量的叉积矩阵。常见坐标轴旋转示例包括绕z轴（θ>0时x转向y）、绕y轴（θ>0时z转向x）和绕x轴（θ>0时y转向z）的旋转矩阵，均体现角度正负对旋转方向的影响。

本文研究了从坐标系A到B的旋转矩阵求解问题，其中坐标系变换由两次旋转（x轴旋转α，y轴旋转β）组成。给定坐标系A中的向量a和其在B中的对应向量b，通过解析推导得到了旋转矩阵R=Ry(β)Rx(α)的求解方法。关键步骤包括：1）利用a_y=b_ycosα-b_zsinα解出α；2）将α代入其他方程解出β；3）构建完整旋转矩阵。文中给出了详细推导过程、注意事项以及适用于IMU姿态估计的C++实现代码，特别处理了重力方向等特殊情况。该方法在b_y²+b_z²≠0时有效，当a_y≠0时需改用最小二乘等更通用的

本文探讨了坐标系绕多个坐标轴转动的两类旋转方式：绕动坐标系的内在旋转和绕定坐标系的外在旋转。在内在旋转中，旋转矩阵右乘，相乘顺序与坐标系转动次序相同（P_A = R_AB R_BC P_C）。在外在旋转中，旋转矩阵左乘，相乘顺序与转动次序相反（P_A = R2 R1 P_C）。通过推导建立了同一旋转在不同坐标系下的转换关系（R^A = R_AB R^B R_AB^⊤），揭示了两种旋转方式的数学本质区别。

本文探讨了平面方程在不同坐标系下的变换方法以及沿法向量移动的规律。主要内容包括： 坐标系变换： 世界坐标系平面方程通过旋转矩阵R和平移向量t转换到相机坐标系 新法向量n' = Rᵀn，常数项D' = nᵀt + D 提供了具体计算示例和验证方法 平面移动： 推导了点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式 给出平面沿法向量移动距离d的公式：D' = D ± d·√(A²+B²+C²) 符号取决于移动方向（沿法向量方向或相反方向）

math.atan2(y, x)笔记

损失函数对逆协方差矩阵的梯度传播到原始协方差矩阵(3DGS）

多维高斯函数指数部分对变量求导

[Mv]_× = M [v]_× M^T的证明、反对称矩阵的运算

矩阵运算的基本性质

slam必会公式总结

SVD求解超定方程，Ax=b，Ax=0

Cholesky分解是一种用于解线性方程组和计算矩阵平方根的算法，特别适用于对称正定矩阵。这种方法相比于其他解法（如高斯消元法）在数值稳定性上通常有更好的表现，并且能够有效地利用矩阵的对称性和正定性。

SVD求解Ax=0

线性、协方差矩阵、最大特征值远大于其他特征值

矩阵求逆、特征向量、特征值

LDLT、Ax=b、矩阵求解