根据相机内参和图像大小计算视场角

一、前提与符号定义

设相机的内参矩阵为：

$$K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

其中：

• $f_x,f_y$：以像素为单位的焦距（x 和 y 方向）；
• $c_x,c_y$：主点（principal point），即光轴在图像平面上的投影坐标（单位：像素）。

图像分辨率为：

• 宽度：$W$（像素）
• 高度：$H$（像素）

我们假设相机遵循针孔成像模型（无畸变），这是标准 FOV 定义的基础。

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二、几何模型回顾

在针孔模型中，成像平面位于焦距 $f$ 处（单位需一致）。当使用像素单位时，焦距 $f_x,f_y$ 已隐含了像素尺寸信息。

从相机光心出发，到图像平面上某一点 $(u,v)$ 的射线与光轴（z 轴）之间的夹角即为该方向的视角。

因此：

• 水平视场角（HFOV） 是从光轴向左到图像最左列（$u=0$）、向右到最右列（$u=W$）的总张角；
• 垂直视场角（VFOV） 是从光轴向上到最上行（$v=0$）、向下到最下行（$v=H$）的总张角。

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三、精确视场角推导

1. 水平视场角（HFOV）

考虑图像平面上的 x 方向：

• 光轴对应 $u=c_x$
• 左边缘：$u=0$，距离光轴的像素偏移为 $c_x$
• 右边缘：$u=W$，偏移为 $W-c_x$

在针孔模型中，角度由反正切函数给出：

$${\theta }_{\text{left}}=\arctan \left(\frac{c_x}{f_x}\right),{\theta }_{\text{right}}=\arctan \left(\frac{W-c_x}{f_x}\right)$$

因此，总水平视场角为两者之和：

$$\boxed{\text{HFOV}=\arctan \left(\frac{c_x}{f_x}\right)+\arctan \left(\frac{W-c_x}{f_x}\right)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

若主点居中（$c_x=W/2$），则简化为：
$$\text{HFOV}=2\arctan \left(\frac{W}{2f_x}\right)$$

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2. 垂直视场角（VFOV）

同理，在 y 方向：

• 上边缘：$v=0$，偏移 $c_y$
• 下边缘：$v=H$，偏移 $H-c_y$

$${\theta }_{\text{up}}=\arctan \left(\frac{c_y}{f_y}\right),{\theta }_{\text{down}}=\arctan \left(\frac{H-c_y}{f_y}\right)$$

故：

$$\boxed{\text{VFOV}=\arctan \left(\frac{c_y}{f_y}\right)+\arctan \left(\frac{H-c_y}{f_y}\right)}\text{\hspace{1em}(2)}$$

若 $c_y=H/2$，则：
$$\text{VFOV}=2\arctan \left(\frac{H}{2f_y}\right)$$

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四、对角线视场角（DFOV）——可选

若需对角线 FOV，通常近似使用平均焦距并基于图像对角线长度：

• 图像对角线半长（像素）：
  $$d=\frac{1}{2}\sqrt{W^2+H^2}$$
• 平均焦距（各向同性近似）：
  $$f_{\text{avg}}=\frac{f_x+f_y}{2}$$

则：

$$\boxed{\text{DFOV}\approx 2\arctan \left(\frac{\sqrt{W^2+H^2}/2}{f_{\text{avg}}}\right)=2\arctan \left(\frac{\sqrt{W^2+H^2}}{f_x+f_y}\right)}\text{\hspace{1em}(3)}$$

注意：此为近似。严格来说，对角线方向的焦距应沿该方向投影，但因 $f_x\approx f_y$ 在多数相机中成立，上述近似足够实用。

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五、关于畸变的说明

• 上述推导基于理想针孔模型。
• 实际镜头存在径向/切向畸变（如你提供的畸变参数），会导致图像边缘“拉伸”或“压缩”。
• 但视场角（FOV）的标准定义不包含畸变，它描述的是校正后（去畸变）图像的视角范围。
• 因此，FOV 计算仅依赖内参 $K$，无需畸变参数。

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六、总结公式（通用形式）

给定：

• 内参 $f_x,f_y,c_x,c_y$
• 图像尺寸 $W,H$

则：

$$\begin{array}{rl}\text{HFOV}& =\arctan \left(\frac{c_x}{f_x}\right)+\arctan \left(\frac{W-c_x}{f_x}\right)\\ \text{VFOV}& =\arctan \left(\frac{c_y}{f_y}\right)+\arctan \left(\frac{H-c_y}{f_y}\right)\end{array}$$

所有角度单位为弧度，若需度，乘以 $\frac{180}{\pi }$。