【JZOJ1224】最小密度路径

最小密度路径算法解析与实现
最新推荐文章于 2022-01-11 19:13:58 发布
原创 最新推荐文章于 2022-01-11 19:13:58 发布 · 271 阅读 · 0 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

该博客讨论了如何在加权有向无环图中找到一条从节点X到节点Y的最小密度路径。通过Floyd算法的扩展，定义f[i][j][k]为从i到j经过k条边的最小代价，并进行预处理和暴力询问以解决Q个查询，整体复杂度为O(n^4 + Q * n^2)。

description

这次的任务很简单，给出了一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。

analysis

  • floyd...floyd...floyd...

  • 设f[i][j][k]f[i][j][k]f[i][j][k]为从iii到jjj经过kkk条边的最小代价

  • 比原来的floydfloydfloyd多一维枚举走几条边，预处理O(n4)O(n^4)O(n

最低0.47元/天 解锁文章
JZOJ5055 树上路径
DancingZ的博客
09-26 535
Description 给定一颗n个结点的无根树，树上的每个点有一个非负整数点权，定义一条路径的价值为路径上的点权和-路径的点权最大值。 给定参数p，我们想知道，有多少不同的树上简单路径，满足它的价值恰好是p的倍数。 注意：单点算作一个路径；u ≠ v时，（u,v）和（v,u）只算一次。 Input 第一行包含两个整数n,p; 接下来n-1行，每行两个整数u,v,表示一条树边。 接下来一行n...
[JZOJ5061]最长路径
待成熟的葡萄
04-15 2318
题目大意给定nn，对于所有1≤k≤n1\le k\le n，求节点数为nn的，从11号点出发最长路径为kk的带标号竞赛图的数量。答案对PP取模。1≤n≤2×103,2≤P≤1091\le n\le2\times10^3,2\le P\le10^9题目分析这题十分之套路。 首先我们要知道竞赛图的几个性质： 定理一：任意一个竞赛图都有一条哈密顿路径。 证明：考虑使用数学归纳法，设节点数为nn： n=2
最小密度路径 洛谷 1730
liangzihao1的博客
11-04 533
题目描述给出一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。输入输出格式输入格式： 第一行包括2个整数N和M。以下M行，每行三个数字A、B、W，表示从A到B有一条权值为W的有向边。再下一行有一个整数Q。以下Q行，每行一个询问X和Y，如题意所诉。输出格式： 对于每个询问输出一行
[Luogu 1730]最小密度路径
weixin_30663391的博客
10-30 156
Description 给出一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。 Input 第一行包括2个整数N和M。 以下M行，每行三个数字A、B、W，表示从A到B有一条权值为W的有向边。 再下一行有一个整数Q。 以下Q行，每行一个询问X和Y，如题意所诉...
最小密度路径（spfa，floyd）
weixin_30879169的博客
03-11 187
【问题描述】 给出了一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个结点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量） 注意：题目描述有误，实际上是有环的 【文件输入】 第一行包括2个整数N和M。第2到第M+1行，每行三个数字A、B、W，表示从A到B有一条权值为W的有向边。第M+2行只有一个整数Q。接下来的Q行，每行有两...
jzoj 1224. 最小密度路径
Larry1118的博客
03-02 277
Description 这次的任务很简单，给出了一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。 Input 第一行包括2个整数N和M。 以下M行，每行三个数字A、B、W，表示从A到B有一条权值为W的有向边。 再下一行有一个整数Q。 以下Q行，每行一个询问X和Y，如题意所诉。 ...
最小密度路径
QAQ
04-08 931
原题：zjnu 1323 题意： 在最短路的基础上加上了路的段数的要求，所以我们加上一维h，用dis[i][j][h]表示i到j走h条路时的最短路，ans枚举1~n即可 因为n比较小而q比较大，所以用floyd一次性算出来比较省事 代码： #include<stdio.h> #include<string.h> #define N 59 #include&lt...
JZOJ4857-简单路径（二进制压位）
Mi-Queen
07-05 660
问题 AAA: 简单路径 时间限制: 111 SecSecSec 内存限制: 128128128 MBMBMB 题目描述 给定一个nnn个点的无向图，求这个图中有多少条长度为444的简单路径。 输入 第一行一个数nnn 接下来nnn行每行nnn个000或111 第iii行第jjj列是111表示iii与jjj联通 输出 输出简单路径的个数 样例输入 555 000110...
【JZOJ】【图论】【最短路】最小花费
Maple的博客
01-18 314
Description 在n个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。这些人之间转账的手续费各不相同。给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问A最少需要多少钱使得转账后B收到100元。 Input 第一行输入两个用空格隔开的正整数n和m，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。以下m行每行输入三个用空格隔开的正整数x,y,z，表示标号为x的人和标号为y的人之间互相转账需要扣除...
P1730 Floyed 最小密度路径
折戟沉沙
07-20 680
题目大意:给出一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。 分析: 数据范围不大,询问比较多,考虑用dp直接算出所有点对的答案.因为 密度=val/R所以考虑f[x][y][R] 为x=>y 经过R条边的最小值 ,ans=f[x][y][R]/R 状态转移为: f[i
【JZOJ A组】最小密度路径
Brute♂force
03-02 439
Description 这次的任务很简单，给出了一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。 Input 第一行包括2个整数N和M。 以下M行，每行三个数字A、B、W，表示从A到B有一条权值为W的有向边。 再下一行有一个整数Q。 以下Q行，每行一个询问X和Y，如题意所诉。 ...
[模板题] 最小密度路径
Bill_Yang_2016的博客
12-03 714
Floyd
【luoguP1730】最小密度路径
Joky_2002的博客
08-03 411
最小密度路径题目描述 给出一张有N个点M条边的加权有向无环图，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。 输入输出格式 输入格式： 第一行包括2个整数N和M。 以下M行，每行三个数字A、B、W，表示从A到B有一条权值为W的有向边。 再下一行有一个整数Q。 以下Q行，每行一个询问X和
【洛谷P1730】最小密度路径
K1385170的博客
05-06 202
题目大意：给定一个 N 个点，M 条边的有向图，现有 Q 个询问，每次询问 X 到 Y 的最小密度路径是多少。最小密度路径的定义是路径长度除以路径边数。 题解：利用矩阵乘法，可以预处理出从 X 到 Y 恰好经过 K 条边的最短路是多少。对于每次询问，直接处理处理即可，时间复杂度为 \(O(n^4)\)。 注意：恰好经过 K 条边的最短路不能将 G[i][i] 初始化成 0，因为边数有实际...
洛谷：P1730 最小密度路径（多条件状态维护 + Floyd变式 + 枚举维护最优子结构）
酒姬民的博客
01-11 514
洛谷：最小密度路径 给定一个图，Q次询问两个节点之间的最小密度 （密度的定义为，两点之间路径上边的权值和 除以 边的数量） 观察数据，类多源最短路，显然用 Floyd 求解 但普通 Floyd 维护的是两点间的最短路，此题要维护的是自定义的密度 密度尽可能小，相当于需要路径上边权和尽可能小、边数量尽可能多，同时维护两个变量是比较困难的 所以可以考虑先固定一个变量，再维护另一个变量的所有情况；枚举所有固定的情况，即所有最优子结构，就能求出全局最优解 所以我们选择枚举边数 定义 dp 集合f[
【改进floyed】最小密度路径（path）
呼啦啦呼啦啦
11-02 1229
最小密度路径（path） 【题目描述】 给出了一张有N个点M条边的加权，接下来有Q个询问，每个询问包括2个节点X和Y，要求算出从X到Y的一条路径，使得密度最小（密度的定义为，路径上边的权值和除以边的数量）。 【输入格式】   第一行包括2个整数N和M。     以下M行，每行三个数字A、B、W，表示从A到B有一条权值为W的有向边。     再下一行有一个整数Q。     以下
【NOIP2016模拟赛No.1】 最小密度路径
Pure_W的博客
07-11 860
最小密度路径
洛谷P1730 最小密度路径
tangzhide123yy的博客
01-11 247
洛谷P1730 最小密度路径 题目分析： 这道题我们用floyd来做，不过在这里要多一维来记录状态。我们用f[L][i][j]表示从i到j走过了l条边数的路径长度。跟新的时候这样做：f[L][i][j]=min(f[l-1[i][k]+f[1][k][j],f[L][i][j])即可。直接贴代码吧！ #include #include #include #include #inc
Jzoj3170只状态压缩
最新发布
07-15
### 解题思路 题目要求解决的是一个与图相关的最小覆盖问题，通常在特定条件下可以通过状态压缩动态规划（State Compression Dynamic Programming, SCDP）来高效求解。由于状态压缩的适用条件是状态维度较小（例如K≤10），因此可以利用二进制表示状态集合，从而优化计算过程。 #### 1. 状态表示 - 使用一个整数 `mask` 表示当前选择的点集，其中第 `i` 位为 `1` 表示第 `i` 个节点被选中。 - 定义 `dp[mask]` 表示在选中 `mask` 所代表的点集后，能够覆盖的节点集合。 - 可以通过预处理每个点的邻域信息（包括自身和所有直接连接的点），快速更新状态。 #### 2. 预处理邻域 对于每个节点 `u`，预先计算其邻域范围 `neighbor[u]`，即从该节点出发一步能到达的所有节点集合。这样，在后续的状态转移过程中，可以直接使用这些信息进行合并操作。 #### 3. 状态转移 - 初始化：对每个单独节点 `u`，设置初始状态 `dp[1 << u] = neighbor[u]`。 - 转移规则：对于任意两个状态 `mask1` 和 `mask2`，如果它们没有交集，则可以通过合并这两个状态得到新的状态 `mask = mask1 | mask2`，并更新对应的覆盖范围为 `dp[mask1] ∪ dp[mask2]`。 - 在所有状态生成之后，检查是否某个状态的覆盖范围等于全集（即覆盖了所有节点）。如果是，则记录此时使用的最少节点数量。 #### 4. 最优解提取 遍历所有可能的状态，找出能够覆盖整个图的最小节点数目。 --- ### 时间复杂度分析 - 状态总数为 $ O(2^K) $，其中 `K` 是关键点的数量。 - 每次状态转移需要枚举所有可能的子集组合，复杂度为 $ O(2^K \cdot K^2) $。 - 整体时间复杂度控制在可接受范围内，适用于 `K ≤ 10~20` 的情况。 --- ### 代码实现（状态压缩 DP） ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 25; int neighbor[MAXN]; // 每个节点的邻域 int dp[1 << 20]; // dp[mask] 表示选中的点集合为 mask 时所能覆盖的点集合 int min_nodes; // 最小覆盖点数 void solve(int n, vector<vector<int>>& graph) { // 预处理每个节点的邻域 for (int i = 0; i < n; ++i) { neighbor[i] = (1 << i); // 包括自己 for (int j : graph[i]) { neighbor[i] |= (1 << j); } } // 初始化 dp 数组 memset(dp, 0x3f, sizeof(dp)); for (int i = 0; i < n; ++i) { dp[1 << i] = neighbor[i]; } // 状态转移 for (int mask = 1; mask < (1 << n); ++mask) { if (__builtin_popcount(mask) >= min_nodes) continue; // 剪枝 for (int sub = mask & (mask - 1); sub; sub = (sub - 1) & mask) { int comp = mask ^ sub; if (comp == 0) continue; int new_mask = mask; int covered = dp[sub] | dp[comp]; if (covered == (1 << n) - 1) { min_nodes = min(min_nodes, __builtin_popcount(new_mask)); } dp[new_mask] = min(dp[new_mask], covered); } } } int main() { int n, m; cin >> n >> m; vector<vector<int>> graph(n); for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v; cin >> u >> v; graph[u].push_back(v); graph[v].push_back(u); // 无向图 } min_nodes = n; solve(n, graph); cout << "Minimum nodes required: " << min_nodes << endl; return 0; } ``` --- ### 优化策略 - **剪枝**：当当前状态所用节点数已经超过已知最优解时，跳过后续计算。 - **提前终止**：一旦发现某个状态覆盖了全部节点，并且节点数达到理论下限，即可提前结束程序。 - **空间优化**：可以仅保存当前轮次的状态，减少内存占用。 --- ### 总结 本题通过状态压缩动态规划的方法，将原本指数级复杂度的问题压缩到可接受范围内。结合位运算技巧和预处理机制，能够高效地完成状态转移和覆盖判断操作。 ---
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值