JZOJsenior3476.【NOIP2013初赛】整除

problem

Description

给出n个数a1,a2……an,求区间[L,R]中有多少个整数不能被其中任何一个数整除。

Input

第一行三个正整数,n,L,R。

第二行n个正整数a1,a2……an

Output

一个数，即区间[L,R]中有多少个整数不能被其中任何一个数整除。

Sample Input

2 1 1000

10 15

Sample Output

867

Data Constraint

对于30%的数据，1<=n<=10,1<=L,R<=1000

对于100%的数据，1<=n<=18,1<=L,R<=10^9

---

analysis

设ans(x)表示1~x中有多少个整数不能被a1,a2……an其中任何一个数整除的个数
这种题目的套路是一样的，都是求$ans(r)-ans(l-1)$，于是考虑怎么求ans

通过容斥原理我们知道，1~n中能被x整除的数个数是$⌊n/x⌋$ ，能被y整除的数的个数是$⌊n/y⌋$，而能被(x,y)整除的数的个数是 $⌊n/(x,y)⌋$
所以对于x和y两个数而言，$ans(n)=n-(⌊n/x⌋+⌊n/y⌋-⌊n/(x,y)⌋)$

如果再还有一个约数z呢？那么——
$ans(n)=n-(⌊n/x⌋+⌊n/y⌋+⌊n/z⌋-⌊n/(x,y)⌋-⌊n/(x,z)⌋-⌊n/(y,z)⌋+⌊n/(x,y,z)⌋)$

所以，我们使用dfs把所有约数组合的情况搞出来
若所有已选的约数个数为奇数ans就减所有数的lcm，否则ans就加上lcm

总体时间复杂度为$O(2*2^n))$（因为需要用两次递归）

---

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

int a[20];
int n,l,r,ans;

int gcd(int x,int y)
{
     return x%y==0?y:gcd(y,x%y);
}

inline void dfs(int m,int lcm,int v)
{
     if (m>n)
     {
        ans+=v/lcm;
        return;
     }
     dfs(m+1,lcm,v);
     long long t=-1ll*a[m]/gcd(abs(lcm),a[m])*lcm;
     if(abs(t)<=v)dfs(m+1,t,v);
}

int solve(int x)
{
    ans=0;
    dfs(1,1,x);
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    printf("%d",solve(r)-solve(l-1));
    return 0;
}