7.1图的定义和术语

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博客介绍了不同数据元素关系，包括线性、层次和任意关系。重点阐述图数据结构的常用定义和术语，如顶点、弧、有向图、无向图等，还介绍了完全图、稀疏图、稠密图等概念，以及路径、回路、连通性等相关内容。

前言

线性表中，数据元素仅有线性关系，每个数据元素只有一个前驱，一个后继。
树形结构中，数据元素有着明显的层次关系，
上一层的数据元素可能和下一层多个元素（孩子结点）直接相关；
下一层的数据元素却只能和上一层中的一个元素（双亲结点）直接相关。
图形结构中，结点之间的关系是任意的，任意两个元素之间都可能相关。

常用定义和术语

在这里插入图片描述

顶点：图中的每一个数据元素。(图又可以叫做顶点集)
弧：V 是顶点的有穷非空集合；VR 是两个顶点的关系集合。若 < v, w > ∈ VR，则 < v, w > 表示从 v 到 w 的一条弧。
弧尾：< v, w > 表示从 v 到 w 的一条弧 v ----------> w ，v 称为 弧尾 / 初始点。
弧头：< v, w > 表示从 v 到 w 的一条弧 v ----------> w ，w 称为 弧头 / 终端点。
有向图：图中的顶点关系都是有方向的关系，此时的图称为有向图。有向图由顶点集和弧集构成。
无向图：若 < v, w > ∈ VR，必然有 < w, v > ∈ VR，即 VR 是对称的，则以无序对 (v, w) 代替这两个有序对，此时的图称为无向图。无向图由顶点集和边集构成。
边：无向图中，每一个无序对，构成一条边。
上图 G₁ 是有向图。
V₁ = { v₁ , v₂ , v₃ , v₄ }
VR₁ = { <v₁ , v₂ > , < v₁ , v₃ > , < v₃ , v₄ > , < v₄ , v₁ > }
G₁ = ( V₁ , { VR₁ } )
上图 G₂ 是无向图
V₂ = { v₁ , v₂ , v₃ , v₄ , v₅ }
VR₂ = { <v₁ , v₂ > , < v₁ , v₄ > , < v₂ , v₃ > , < v₂ , v₅ > , < v₃ , v₄ > , < v₃ , v₅ > }
G₂ = ( V₂ , { VR₂ } )
完全图 & 有向完全图（任意两个顶点之间都有边 / 弧）
一个图中，有 n 个顶点，e 条边 / 弧，在不考虑顶点到自身的弧 / 边时，即对任意的 v_i ≠ v_j , 必然存在 < v_i , v_j > ∈ VR。
对于无向图来说，e 的取值范围是 0 到 n(n-1) / 2 。具有 n(n-1) / 2 条边的无向图 称为完全图。
对于有向图来说，e 的取值范围是 0 到 n(n-1)。具有 n(n-1) 条弧的有向图 称为有向完全图。
稀疏图：边 / 弧很少的图，边数 v< n * log n
稠密图：边 / 弧很多的图
有向网：弧上带有权的图。
无向网：边上带有权的图。
子图
假设有两个图，
G = ( V , { VR } )
G ’ = ( V ’ , { VR ’ } )
若 V ‘ ⊆ V 且 VR ’ ⊆ VR，
则称 G ‘ 为 G 的子图。
示例，如下
邻接点：对于无向图 G = ( V , { VR } ) 来说，若边 ( v , v ’ ) ∈ VR，则称顶点 v 和 v’ 互为邻接点。
依附：对于无向图 G = ( V , { VR } ) 来说，若边 ( v , v ’ ) ∈ VR，则称 边 ( v , v ' ) 依附于 顶点 v 和 v '，或者说边 ( v , v ’ ) 与 v ，v ’ 相关联
顶点的度：
对于无向图：和某个顶点 v 相关联的边的数目，记作 TD( V )
对于有向图：以顶点 v 为弧头的弧的数目称为顶点 v 的入度，记作 ID( v )；以顶点 v 为弧尾的弧的数目称为 v 的出度，记作 OD( v ) ，此时顶点 v 的度 TD( v ) = ID( v ) + OD( v )
若顶点 v_i 的度记作 TD(V_i) ，那么一个有 n 个顶点，e 条边 / 弧的图，满足如下关系
e = Σ TD(V_i) / 2
路径：图中一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
有向图的路径是有向的，无向图的路径是无向的。
路径的长度：路径上的边 / 弧的数目。
回路 / 环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
简单回路 / 简单环：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路。
连通：对于无向图 G，从顶点 v 到顶点 v ‘ 有路径，则称 v 和 v ’ 是连通的。
连通图：无向图中，任意两个顶点都是连通的。
连通分量：无向图中的极大连通子图。如下 G3 是非连通图，但它有 3 个连通分量。
非连通图都可以看作是若干个连通分量构成。
强连通图：对于有向图，任意两个顶点之间都存在双向路径，则称 G 是强连通图。
强连通分量：对于有向图，有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。
连通图的生成树 / 极小连通子图
是一个连通图的极小连通子图，包含图中全部的 n个顶点，但只有 n-1 条边。
在生成树上添加一条边，必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径.
一个有 n 个顶点的生成树有且仅有 n-1 条边。小于则一定是非连通图，大于则一定有环，等于也不一定就是生成树。
有向树：一个有向图只有一个顶点的入度为 0 ，其余顶点的入度均为 1 ，那么这个图就是棵有向树。
生成森林：一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。如下图
在图中，顶点位置 和 邻接点位置 是一个相对的概念。
图中的顶点不存在全序的关系，即无法将全部顶点排成一个线性序列，任何一个顶点都可以看成是第一个顶点。
顶点再图中的位置 指的是该顶点在 人为的随意排列 中的位置或者序号。