1547:【 例 1】区间和

【题目描述】

给定一数列,规定有两种操作,一是修改某个元素,二是求区间的连续和。
【输入】

输入数据第一行包含两个正整数n,m(n≤100000,m≤500000)
,以下是m

行,

每行有三个正整数k,a,b
(k=0或1,a,b≤n).k=0时表示将a处数字加上b,k=1时表示询问区间[a,b

]内所有数的和。
【输出】

对于每个询问输出对应的答案。
【输入样例】

10 20
0 1 10
1 1 4
0 6 6
1 4 10
1 8 9
1 4 9
0 10 2
1 1 8
0 2 10
1 3 9
0 7 8
0 3 10
0 1 1
1 3 8
1 6 9
0 5 5
1 1 8
0 4 2
1 2 8
0 1 1

【输出样例】

10
6
0
6
16
6
24
14
50
41

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 100000 + 10;
#define ll long long

ll sum[N * 4];

int n,m;
int op,a,b;

void modify(int u,int l,int r,int p,int v)
{	
	if(r<p||l>p) return ;
	if(l == r && l == p)
	{
		sum[u] += v;
		return ;
	}
	else
	{
		int mid = (l + r)/2;
		modify(u * 2, l, mid, p, v);
		modify(u * 2 + 1, mid + 1, r, p, v);
		sum[u] = sum[u * 2] + sum[u * 2 + 1];
	}
}

ll query(int u,int l,int r,int x,int y)
{
	if(y<l || x>r) return 0;
	if(l >= x && r <= y) return sum[u];
	int mid = (l + r)/2;
	ll res =0;
	res = query(u * 2, l, mid, x, y);
	res+= query(u * 2 + 1, mid + 1, r, x, y);
	return res;
}



int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	while(m--)
	{
		scanf("%d %d %d",&op,&a,&b);
		if(op == 0)
		{
			modify(1,1,n,a,b);
		}
		if(op == 1)
		{
			printf("%lld\n",query(1,1,n,a,b));
		}
	}
	return 0;
}
<think>好的,我现在需要解决用户的问题:如何用Octave计算内接于半径为R的球中具有最大体积的圆柱体的高度。首先,我要明确问题的数学模型,然后找到优化体积的方法,最后用Octave实现求解。 首先,问题是要在球内找一个圆柱体,体积最大。球的半径是R,圆柱体的高度是h,底面半径是r。那么圆柱体的体积V=πr²h。但是圆柱体内接于球,所以必须满足几何约束。假设球心在原点,圆柱体的对称轴也是通过球心的,那么圆柱体的顶端底端在球的表面。这样,圆柱体的半高h/2底面半径r满足勾股定理:r² + (h/2)² = R²。这样,r² = R² - (h²)/4。接下来,把体积V用h表示,代入r²的表达式:V = π(R² - h²/4)h = πR²h - πh³/4。现在问题转化为求这个函数V(h)的最大值,其中h的取值范围是0到2R,因为高度不能超过球的直径。 接下来,我需要求这个函数的极值。通常的方法是求导并找临界点。对V关于h求导,V’=πR² - (3πh²)/4。令导数为零,解得h² = (4πR²)/(3π) → h² = (4R²)/3 → h = 2R/√3。这时候需要验证这是极大值点。二阶导数V''= - (6πh)/4,当h为正时,二阶导数为负,说明在h=2R/√3处有极大值。所以,最大体积对应的圆柱体高度是2R/√3。 但用户要求用Octave进行求解,可能需要数值方法,比如用fminsearch来找最大值,或者使用符号计算。这里可能需要先定义体积函数,然后求其极值点。或者,用符号变量计算导数解方程。 在Octave中,可以使用符号计算包。如,定义符号变量hR,然后建立体积表达式,求导并解方程。或者,假设R是一个具体的数值,比如R=1,然后进行数值优化。这里可能需要考虑两种情况:符号解数值解。 首先,考虑符号解法。在Octave中,需要加载symbolic包,然后定义变量: pkg load symbolic syms h R V = pi*(R^2 - (h^2)/4)*h; dV_dh = diff(V, h); critical_points = solve(dV_dh == 0, h) 这里可能会得到解为h = (2*R*sqrt(3))/3,即2R/√3,与之前的分析一致。 如果用户需要数值解,比如给定R的具体值,可以用数值方法。如,R=2时,最大高度应为2*2/√3 ≈ 2.3094。可以定义体积函数,然后使用fminbnd寻找最大值。因为fminbnd是找最小值,所以需要将体积函数取负数来找最小值的位置。 如: function vol = volume(h, R) vol = -pi * (R^2 - (h.^2)/4) .* h; % 负号用于求最大值 end R = 2; [h_max, V_max] = fminbnd(@(h) volume(h, R), 0, 2*R); h_max_actual = h_max; V_max_actual = -V_max; 这样得到的h_max_actual应该接近理论值2R/√3。 需要验证是否正确,还要注意定义域是否正确。如,h的范围是0到2R,所以fminbnd的区间应该是0到2*R。 另外,是否有可能存在多个临界点?根据之前的分析,导数方程只有一个正根,所以应该没问题。但数值方法可能会受初始猜测影响,不过因为函数在这个区间内是单峰的吗?当h从0增加到2R,体积V先增加到最大值然后减少到0,所以函数是单峰的,因此数值优化方法可以找到唯一的极大值。 综上,用户的问题可以通过符号计算得到解析解,或者数值方法得到数值解。接下来需要将这些步骤用Octave代码实现,并给出相应的解释。</think>要计算内接于半径为$R$的球中具有最大体积的圆柱体高度,可按以下步骤进行: ### 1. 建立数学模型 设圆柱体高度为$h$,底面半径为$r$,满足几何约束关系: $$ r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 $$ 体积公式为: $$ V = \pi r^2 h $$ 将约束代入体积公式,得到关于$h$的函数: $$ V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right)h $$ ### 2. 求导找极值 对$V(h)$求导并令导数为零: $$ \frac{dV}{dh} = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4} = 0 $$ 解得临界点: $$ h = \frac{2R}{\sqrt{3}} $$ 二阶导数验证: $$ \frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{3\pi h}{2} < 0 \quad (h>0) $$ 说明此时体积最大[^1]。 ### 3. Octave实现 #### 符号计算法(解析解) ```octave pkg load symbolic syms h R V = pi*(R^2 - h^2/4)*h; % 定义体积函数 dV = diff(V, h); % 对h求导 h_solution = solve(dV == 0, h) % 求解临界点 h_max = simplify(h_solution(2))% 取正实数解 ``` #### 数值优化法(以R=1) ```octave R = 1; f = @(h) -pi*(R^2 - h.^2/4).*h; % 负号用于求最大值 [h_opt, V_opt] = fminbnd(f, 0, 2*R); disp(['最大高度 h = ', num2str(h_opt)]); disp(['理论值 h = ', num2str(2*R/sqrt(3))]); ``` ### 4. 结果验证 两种方法得到的解均为$h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$,与理论分析一致。数值方法中当$R=1$时,计算结果约为$1.1547$,与理论值$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$吻合[^2]。
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