题解蓝桥杯比赛真题(更新中)

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#蓝桥杯 #算法 #c++ #数据结构

于 2022-11-01 13:10:16 首次发布

本文通过四个题目探讨了数学算法的应用：一题使用中国剩余定理解决一元线性同余方程组；二题介绍星期计算的基本算法；三题讨论如何找到特定长度的等差素数列；四题介绍一种计算字符串排列序数的方法。

简单的GCD

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n gcd(i,j,k) \cdot 2^k \quad \bmod p$

其中， gcd⁡(i,j,k)为 i,j,k 之间的最大公因数。

输入：一行两个整数， n,p (1≤n≤10^3,1≤p≤10^9)，代表 nn 和模数的值。

输出：一行一个整数，代表答案。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1000;

int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main() {
    int n, p;
    cin >> n >> p;

    vector<int> phi(MAXN + 1);
    for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
        phi[i] = i;
    }
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
        if (phi[i] == i) {
            for (int j = i; j <= MAXN; j += i) {
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }

    vector<long long> PhiSum(MAXN + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= MAXN; i++) {
        PhiSum[i] = PhiSum[i - 1] + phi[i];
    }
    vector<long long> C(MAXN + 1, 0);
    for (int M = 1; M <= MAXN; M++) {
        C[M] = 2 * PhiSum[M] - 1;
    }

    vector<long long> pow2(n + 1);
    pow2[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pow2[i] = (pow2[i - 1] * 2) % p;
    }

    vector<vector<long long>> F_mem(MAXN + 1, vector<long long>(MAXN + 1, -1));

    long long ans = 0;
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        long long S_k = 0;
        for (int d = 1; d <= k; d++) {
            if (k % d != 0) continue;
            int m = n / d;
            int x = k / d;
            if (m < 1) continue;
            if (F_mem[m][x] == -1) {
                long long temp = 0;
                for (int g = 1; g <= m; g++) {
                    if (gcd(g, x) == 1) {
                        int M_val = m / g;
                        temp += C[M_val];
                    }
                }
                F_mem[m][x] = temp;
            }
            S_k = (S_k + d * F_mem[m][x]) % p;
        }
        ans = (ans + pow2[k] * S_k) % p;
    }

    cout << ans % p << endl;
    return 0;
}