bzoj1986 [USACO2004 Dec] Dividing the Path 划区灌溉

本文介绍了一种针对特定条件下的灌溉规划算法。目标是最小化喷灌器数量,确保每段区域被且仅被一个喷灌器覆盖,同时考虑奶牛喜好的草地范围限制。通过使用单调队列处理和动态规划方法,解决了这一复杂问题。

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http://www.elijahqi.win/archives/1092
Description

Farmer John’s cows have discovered that the clover growing along the ridge of the hill in his field is particularly good. To keep the clover watered, Farmer John is installing water sprinklers along the ridge of the hill. To make installation easier, each sprinkler head must be installed along the ridge of the hill (which we can think of as a one-dimensional number line of length L (1 <= L <= 1,000,000); L is even). Each sprinkler waters the ground along the ridge for some distance in both directions. Each spray radius is an integer in the range A..B (1 <= A <= B <= 1000). Farmer John needs to water the entire ridge in a manner that covers each location on the ridge by exactly one sprinkler head. Furthermore, FJ will not water past the end of the ridge in either direction. Each of Farmer John’s N (1 <= N <= 1000) cows has a range of clover that she particularly likes (these ranges might overlap). The ranges are defined by a closed interval (S,E). Each of the cow’s preferred ranges must be watered by a single sprinkler, which might or might not spray beyond the given range. Find the minimum number of sprinklers required to water the entire ridge without overlap.

约翰的奶牛们发现山督上的草特别美味.为了维持草的生长,约翰打算安装若干喷灌器.为简化问题,山脊可以看成一维的数轴,长为L(1≤L≤10^6),而且L-定是一个偶数.每个喷灌器可以双向喷灌,并有确定的射程,该射程不短于A,不长于B,A,B(1≤A≤B≤103)都是给出的正整数.它所在位置的两边射程内,都属它的灌溉区域.现要求山脊的每一个区域都被灌溉到,而且喷灌器的灌溉区域不允许重叠, 约翰有N(1≤N≤10^3)只奶牛,每一只都有特别喜爱的草区,第i奶牛的草区是[Si,Ei],不同奶牛的草区可以重叠.现要求,每只奶牛的草区仅被一个喷灌器灌溉. 寻找最少需要的喷灌器数目.

Input

  • Line 1: Two space-separated integers: N and L * Line 2: Two space-separated integers: A and B * Lines 3..N+2: Each line contains two integers, S and E (0 <= S < E <= L) specifying the start end location respectively of a range preferred by some cow. Locations are given as distance from the start of the ridge and so are in the range 0..L.

Output

  • Line 1: The minimum number of sprinklers required. If it is not possible to design a sprinkler head configuration for Farmer John, output -1.

Sample Input

2 8
1 2
6 7
3 6
Sample Output

3
HINT

这个方程满足f[i]=minf[k]+1;

所以我们应该用单调队列处理出这个k来

求一下 我可以划分多少灌溉的区域
如果不加奶牛的限制 就可以数学方法算一算的
但是奶牛喜爱区域的开区间内只允许有一个灌溉的,那么我们认为这个区域为不可划分的就好了啊
设f[i]表示灌溉前i个区域需要最少的灌溉器的数目
按照题意的话 因为牛喜爱的牧场的开区间内是不能有多个灌溉区的 所以啊 我们就先给打上标记方便以后处理的 还有就是需要注意一下题目中给的都是到一号的距离 所以存在0的情况

每个f[i]不能刚算出来就弹队尾+进队尾,因为此时下一个位置为 i+2 ,可能会把能够转移到i+2的合法状态弹出去,而f[i]是不能转移到f[i+2]的!(因为有a的限制)所以会造成f[i+2]计算错误(当然f[l]就也有可能出错了。事实上由于我们维护的队列是一个合法状态区间,所以目前不合法的状态不应该进队,而是应该在每次更新f[i]之前让 f[i-2*a] 进队,这样可以保证队列中所有节点都为合法状态。

#include<cstdio>
#define N 1100000
#define inf 0x7f7f7f7f
inline int read(){
    int x=0;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while (ch<='9'&&ch>='0'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x;
}
int q[N],f[N],a,b,n,l;
bool flag[N];
int main(){
    freopen("bzoj1986.in","r",stdin);
    n=read();l=read();
    a=read();b=read();
    for (int i=1;i<=n;++i) {
        int x=read(),y=read();
        for (int j=x+1;j<y;++j) flag[j]=true;
    }
    for (int i=1;i<a<<1;++i) f[i]=inf;int head=1,tail=0;
    for (int i=a<<1;i<=l;i+=2){
        while (head<=tail&&q[head]<i-b*2)++head;     
        while (head<=tail&&f[i-2*a]<f[q[tail]]) tail--;
        q[++tail]=i-2*a;
        if (flag[i]||f[q[head]]==inf) f[i]=inf;else f[i]=f[q[head]]+1;
    }
    if(f[l]==inf) printf("-1");else printf("%d",f[l]);
    return 0;
}
题目描述 牛牛和她的朋友们正在玩一个有趣的游戏,他们需要构建一个有 $n$ 个节点的无向图,每个节点都有一个唯一的编号并且编号从 $1$ 到 $n$。他们需要从节点 $1$ 到节点 $n$ 找到一条最短路径,其中路径长度是经过的边权的和。为了让游戏更有趣,他们决定在图上添加一些额外的边,这些边的权值都是 $x$。他们想知道,如果他们添加的边数尽可能少,最短路径的长度最多会增加多少。 输入格式 第一行包含两个正整数 $n$ 和 $m$,表示节点数和边数。 接下来 $m$ 行,每行包含三个整数 $u_i,v_i,w_i$,表示一条无向边 $(u_i,v_i)$,权值为 $w_i$。 输出格式 输出一个整数,表示最短路径的长度最多会增加多少。 数据范围 $2 \leq n \leq 200$ $1 \leq m \leq n(n-1)/2$ $1 \leq w_i \leq 10^6$ 输入样例 #1: 4 4 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 5 输出样例 #1: 5 输入样例 #2: 4 3 1 2 1 2 3 2 3 4 3 输出样例 #2: 2 算法 (BFS+最短路) $O(n^3)$ 我们把问题转化一下,假设原图中没有添加边,所求的就是点 $1$ 到点 $n$ 的最短路,并且我们已经求出了这个最短路的长度 $dis$。 接下来我们从小到大枚举边权 $x$,每次将 $x$ 加入图中,然后再次求解点 $1$ 到点 $n$ 的最短路 $dis'$,那么增加的最短路长度就是 $dis'-dis$。 我们发现,每次加入一个边都需要重新求解最短路。如果我们使用 Dijkstra 算法的话,每次加入一条边需要 $O(m\log m)$ 的时间复杂度,总的时间复杂度就是 $O(m^2\log m)$,无法通过本题。因此我们需要使用更优秀的算法。 观察到 $n$ 的范围比较小,我们可以考虑使用 BFS 求解最短路。如果边权均为 $1$,那么 BFS 可以在 $O(m)$ 的时间复杂度内求解最短路。那么如果我们只是加入了一条边的话,我们可以将边权为 $x$ 的边看做 $x$ 条边的组合,每次加入该边时,我们就在原始图上添加 $x$ 条边,边权均为 $1$。这样,我们就可以使用一次 BFS 求解最短路了。 但是,我们不得不考虑加入多条边的情况。如果我们还是将边权为 $x$ 的边看做 $x$ 条边的组合,那么我们就需要加入 $x$ 条边,而不是一条边。这样,我们就不能使用 BFS 了。 但是,我们可以使用 Floyd 算法。事实上,我们每次加入边时,只有边权等于 $x$ 的边会发生变化。因此,如果我们枚举边权 $x$ 时,每次只需要将边权等于 $x$ 的边加入图中,然后使用 Floyd 算法重新计算最短路即可。由于 Floyd 算法的时间复杂度为 $O(n^3)$,因此总的时间复杂度为 $O(n^4)$。 时间复杂度 $O(n^4)$ 空间复杂度 $O(n^2)$ C++ 代码 注意点:Floyd算法计算任意两点之间的最短路径,只需要在之前的路径基础上加入新的边构成的新路径进行更新即可。
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