14、时间推理：小波分解与多尺度时间趋势提取

时间推理：小波分解与多尺度时间趋势提取

1. 高斯滤波的问题

在信号处理中，高斯滤波是一种常用的平滑方法，但它存在一些问题。

1.1 信号特征的失真

当信号通过高斯滤波器时，其特征会逐渐发生定量的失真。这是由于平滑过程在信号的较长片段上进行平均的自然结果。这种失真会抑制准确区分特征的提取。例如，通过从区间树中选择稳定片段来提取特征时，需要将分段二次线段拟合到稳定片段覆盖的原始数据上，这个过程是临时的，并且会在拐点处产生不连续性。

1.2 虚假特征的产生

高斯滤波有两个重要特性：一是从更抽象到更详细的描述时，拐点不会消失；二是随着滤波尺度的增加，不会产生虚假的拐点。这两个特性保证了高斯滤波不会产生虚假特征，但许多其他滤波器并非如此。因此，使用的任何滤波器都应保持原始信号的完整性。

2. 小波分解：多尺度趋势提取

小波分解在过去 10 年中已成为一个强大的理论框架，并在数据压缩、语音和视频识别、数据分析、多速率数据融合、滤波技术等领域带来了重大的技术发展。信号的小波分解之所以极具吸引力，主要有两个原因：一是它能在时间和频率上对信号特征进行出色的定位；二是在数值计算上比其他技术（如信号的快速傅里叶变换）更高效。因此，小波分解是提取和表示过程操作数据趋势的最合适框架。

2.1 小波分解的理论

2.1.1 小波家族

小波家族是一族函数，其所有成员都由单个母函数的平移（例如在时间上）和伸缩得到。如果 $\psi(t)$ 是母小波，那么该家族的所有成员可以表示为：
[
\psi_{s,u}(t)=\frac{1}{\