3、矩阵分析基础：奇异值分解与特征值分解

于 2025-10-23 11:06:01 发布
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分类专栏： 神经网络中的PCA艺术 文章标签： 奇异值分解 SVD 特征值分解
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矩阵分析基础：奇异值分解与特征值分解

1. 引言

在数据分析和处理领域，主成分（PC）或次要成分（MC）的获取常常依赖于样本相关矩阵的特征值分解（ED）或数据矩阵的奇异值分解（SVD）。SVD的历史可追溯到19世纪70年代，Beltrami和Jordan被公认为其创始人。1873年，Beltrami发表了关于SVD的首篇论文，次年Jordan也独立发表了相关论述。如今，SVD已成为现代数值分析中极为有用和高效的工具，广泛应用于统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制等众多领域。它也是特征向量提取、子空间跟踪和总最小二乘问题等的基础工具。

ED在数学分析和工程应用中同样重要。在矩阵代数里，ED通常与谱分析相关，线性算术算子的谱被定义为矩阵的特征值集合。在工程应用中，谱分析与傅里叶分析相关，信号的频谱被定义为傅里叶谱，信号的功率谱则被定义为频谱范数的平方或自相关函数的傅里叶变换。除了SVD和ED，梯度和矩阵微分也是矩阵分析的重要概念。

1.1 相关概念的重要性

概念 重要性
SVD 现代数值分析工具，用于统计分析、信号与图像处理等，是特征向量提取等问题的基础
ED 在矩阵代数中与谱分析相关，在工程应用中与傅里叶分析相关
梯度和矩阵微分 矩阵分析的重要概念，用于后续理论分析
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