CINTA作业8

CINTA作业8

1.手动计算2000^2019 (mod 221)，不允许使用电脑或者其他电子设备。
解：
$$2000^{2019}(mod221)=(2000mod221{)}^{2019}(mod221)=11^{2019}(mod221)$$
根据中国剩余定理，定义从Zn 到Zp ×Zq 的同构映射φ,n=p*q：
$$\varphi (x)=([xmodp],[xmodq])$$
因为221=17*13所以：
$$\begin{gathered} 11\leftrightarrow (11mod17,11mod13)=(11,11) \\ (11,11{)}^{2019}=([11^{2019}mod17],[11^{2019}mod13]) \end{gathered}$$
由费马小定理
$$\begin{gathered} 11^{2019}mod17=11^{126\ast 16+3}mod17=11^{3}mod17=5 \\ 11^{2019}mod13=11^{168\ast 13+3}mod17=11^{3}mod13=5 \end{gathered}$$
故
$$\begin{gathered} 2000^{2019}(mod221)=11^{2019}(mod221)\leftrightarrow (11,11{)}^{2019}=(5,5) \\ 即2000^{2019}(mod221)=5 \end{gathered}$$
2. 运用CRT 求解：x ≡ 8 (mod 11) ，x ≡ 3 (mod 19)
解：
记a = 8，b = 3，p = 11，q = 19 和n = pq = 209；
$$由egcd算法得，p^{-1}\equiv 7(modq),q^{-1}\equiv 7(modp)$$
由中国剩余定理得：
$$x=aq{q}^{-1}+bp{p}^{-1}(modn)=8\ast 19\ast 7+3\ast 11\ast 7(mod209)=41$$
3. 运用CRT 求解：x ≡ 1 (mod 5)，x ≡ 2 (mod 7)，x ≡ 3 (mod 9)，x ≡ 4 (mod 11)
解：
记 a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，m1=5，m2=7，m3=9，m4=11，M=m1*m2*m3*m4=3465
$$令b_i=M/m_i,存在b_i^{-1}使得b_i{b}_i^{-1}\equiv 1(mod{m}_i)$$
由egcd算法得
$$\begin{gathered} b_1=m2\ast m3\ast m4=693,b_1^{-1}=2(mod{m}_1) \\ {b}_2=m1\ast m3\ast m4=495,b_2^{-1}=3(mod{m}_2) \\ {b}_3=m1\ast m2\ast m4=385,b_3^{-1}=4(mod{m}_3) \\ {b}_4=m1\ast m2\ast m3=315,b_4^{-1}=8(mod{m}_4) \end{gathered}$$
由中国剩余定理得：
$$x=\sum _{i=1}^4{a}_i{b}_i{b}_i^{-1}(modM)=1731$$
4. 设m 和n 为互素的正整数，a > 0 为一个正整数，如果x ≡ a (mod m)，x ≡ a (mod n)
x 模mn 等于什么？为什么？提示：这是一道看上去与中国剩余定理相关的问题。
解：
由题意得
$$x=mp+a(p\in Z)=nq+a(q\in Z)$$
由上式可得mp=nq，因为m 和n 为互素的正整数，又两个互素的正整数的最小公倍数是他们的乘积，可推得
$$\begin{gathered} mp=nq=kmn,即p=kn,q=km(k\in Z) \\ 故x=kmn+a(k\in Z) \end{gathered}$$
所以
$$x\equiv a(modmn)$$
5. 设p 和q 是不同的两个素数，请证明p^q−1 + q^p−1 ≡1 (mod pq)
证明：
p,q互素，由费马小定理得
$$\begin{gathered} p^{q-1}\equiv 1(modq),q^{p-1}\equiv 1(modp) \\ 又p^{q-1}\equiv 0(modp)，q^{p-1}\equiv 0(modq) \\ 故p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1(modq) \\ {p}^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1(modp) \end{gathered}$$
由4题结论x ≡ a (mod m)，x ≡ a (mod n)，则 x≡a(mod mn)
故
$$p^{q-1}+q^{p-1}\equiv 1(modpq)$$