复数乘法的几何意义

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分类专栏： 数学 文章标签： 数学
于 2022-09-21 15:32:08 首次发布
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本文通过几何直觉解释了欧拉公式的含义。利用复数的两种表达形式——代数形式与极坐标形式，展示了复数乘法如何实现向量旋转，并深入浅出地讲解了单位复数旋转其他复数的原理。

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用几何直觉理解欧拉公式！【中学生也能懂|manim】_哔哩哔哩_bilibili

复坐标下的向量有两种描述方式： 一个是a+bi的形式、另外一个是幅角加上模长的方式。 

两复数相乘，结果的幅角等于两个复数的幅角相加，结果的长度等于两个复数模长的乘积

 

所以当我们使用单位长度的复数a去乘另外一个复数b，其结果c相对于b来说的几何意义就是对b进行了a的幅角大小的旋转（因为a的模长为单位1），这样就达到了对于向量进行旋转的操作

（转） 感觉写的很好的数学知识--虚数
weixin_30834019的博客
09-28 436
http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html 虚数的意义 作者：阮一峰 日期：2012年9月24日 有人在Stack Exchange问了一个问题： 　　"我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。 　　中学老师说，虚数就是-1的平方根。 　　 　　可是，什么数的平...
【复平面】-复数相乘的几何性质
2301_82023330的博客
11-08 2259
在复平面中，两个复数（即向量）相乘时满足的性质。
叉乘的几何意义
davidhopper的博客
04-27 5901
如上图所示： AB x AC = |AB||AC|sin(a) (a表示AB与AC的夹角），根据叉乘的右手准则，ABx AC的朝向为sot平面的坐标负值方向。 AE x AF = |AE||AF|sin(b) (b表示AE与AF的夹角），根据叉乘的右手准则，AE x AF的朝向为sot平面的坐标正值方向。 其几何意义是：AB x AC的结果为负值，表明B、C两点在A点上方；AE x AF的结果为正值，表明E、F两点在A点下方。 ...
虚数的几何意义
05-13 1万+
虚数这个概念一直困扰着我。就和神秘的常数 e 一样，大多数解释都无非是以下两种套路： 它是一个数学概念，用来套套公式就行。 它在高等物理里面才会用到，所以别担心，到大学你就明白了。 如此教学怎么能激发出孩子学习数学的热情呢!所以今天我们将借助以下几种工具来攻克虚数这个概念： 关注数学概念间的联系，而非公式。 将虚数概念的引进看做 数学系统的扩展，就像 零、小数、负数的概念一样。 还
复数乘法及几何意义PPT学习教案.pptx
10-07
复数乘法及其几何意义是复数理论的基础部分，尤其对于理解和解决涉及复数的问题至关重要。在这个PPT学习教案中，主要探讨了复数乘法的规则以及它在几何上的表现。 首先，复数的基本形式是a + bi，其中a和b是实数，i...
2020_2021学年新教材高中数学第五章复数5.2.2复数的乘法与除法5.2.3第2课时复数乘法的几何意义与复数运算的综合应用课时作业含解析北师大版必修第二册20210125291
08-07
通过对复数乘法的几何意义的探讨，我们能够更好地理解复数在几何上的表示和应用，进一步拓展我们对数学的认识和应用能力。同时，复数的综合运算能力的提升，对于解决实际问题，尤其是那些涉及到函数、序列等高级概念...
《复数的几何意义》预习案.docx
12-12
**复数的几何意义** 复数是数学中的一个重要概念，它扩展了实数系统，引入了一个新的运算——虚数单位i，使得代数方程如x^2 + 1 = 0有解。复数可以表示为z = a + bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，...
2020新教材高中数学第十章复数10.1.2复数的几何意义课件新人教B版必修第四册202004280540
09-08
复数乘法涉及旋转和平移，可以借助欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i sinθ来进一步理解。 此外，复数的模还可以用来解决一些几何问题，如确定圆的方程，因为复数的模满足特定关系的点构成的集合是一个圆。例如，|z - z0...
新教材2020-2021学年高中数学第2册教学用书：7.1.2　复数的几何意义 含解析.doc
09-13
复数的几何意义是高中数学中的重要概念，它将抽象的复数与二维空间的几何图形相结合，使得复数的运算和性质变得直观易懂。复平面是复数的几何表示，它是一个直角坐标系，其中x轴被称为实轴，y轴被称为虚轴。在复平面...
数学 | 复数的代数、向量、矩阵、极坐标、指数形式 | 复数相乘的物理意义【旋转+缩放】
weixin_43646592的博客
05-28 2707
数学 | 复数的代数、向量、矩阵、极坐标、指数形式 | 复数相乘的物理意义【旋转+缩放】
复数乘法与旋转
朝气蓬勃
05-05 6233
问题复数乘法可以表示为向量旋转的证明。证明a+bi=r(cosA+i∗sinA)a+bi = r(cosA+i*sinA) c+di=q(cosB+i∗sinB)c+di = q(cosB+i*sinB) 相乘 =rq[(cosA+i∗sinA)∗(cosB+i∗sinB)]= rq[(cosA+i*sinA) * (cosB+i*sinB)] (cosA+i∗sinA)∗(cosB+i∗si
叉积的意义
杨铸人的博客
02-02 2023
叉积是什么意思？它和复数有什么关系？二维向量有叉积吗？不仅仅是有，而它正是这个概念的来源。
虚数到底有什么意义？从 i 说起
Android系统攻城狮
01-15 1380
有人在Stack Exchange问了一个问题： "我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。中学老师说，虚数就是-1的平方根。 可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！ 直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？它有什么用？" 帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，...
高中数学：复数-基础概念及运算法则
Brave_heart4pzj的博客
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复数乘法_初学讲义之高中数学十八：复数
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复数很简单虚数在解一元二次方程 时，用到根的判别式： 当 时，方程有两个不相等的根当 时，方程有一个根（或两个相等的根）当 时，方程没有根以上讨论是在实数范围内这里很重要的一点，就是根号 里面的东西不能为负那么如果里面的东西为负了，该怎么办呢？在实数范围内，我们称它没有意义现在，我们强行赋予它意义，具体什么意义后面再讲我们规定： i 叫作虚数单位这样，所有根号下的负数都可以用 i 来表...
《（数学篇）》 复数运算
domzhaosh
09-24 8152
【译文连载】《更好的解释（数学篇）》——第六章 复数运算 虚数有一个直观化的解释：它把数字“旋转”，就像负数把数字做了“镜像”一样。这种深刻的见解使得我们理解复数的元算变得十分简单并且清晰，而且也可以很好的检查一下你是否学会了这种见解。以下是我们的作弊表： 这一章我们将逐一检验一遍我们的直观化的解释。 6.1 复变量 在常规代数中，我们经常说“x=3”，这样很好——有一个变量
e^(πi)=-1的最佳解释笔记
weixin_43889128的博客
08-21 4809
先说模长（a+bi）（c+di）=ac+adi+bci+bdi²，以第三行为例，实数部分44，做乘法，虚数部分两个43i+43i 也是先乘法，最后3i^2就是实数-9，实数最后就是44-9 虚数是24i，就是ac-bd,(ad+bc)i 模长直接相乘，要找坐标的话就是公式ac-bd,(ad+bc)i 再说角度 以第一个为例前者角度36.9后者90 相乘以后角度相加，两个复数相乘 先找到他们各自的角度，就知道相乘后的角度 ...
复数计算和向量计算的区别
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nekewang的博客
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今天接触到了量子计算，原理正在摸索，但是从数学角度，复数计算应该会用到。 以前学习复数的时候，纯属应付考试，现在回想只记得一个公式：，是的，就只记得这个！ 今天周末，有时间缕一下，看几个问题： 1、复数里用到了虚数，看了阮老师的一篇文章，虚数的意义何在，清晰了好多，上学的时候怎么没想过这些问题呢？ 2、看起来复数计算好像跟向量计算很像，但是还是不一样。下面就把学习内容写下来： 1）向量可...
复数乘法
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<think>嗯，用户想了解复数乘法的定义和计算方法。首先，我需要回忆复数乘法的基本概念。复数通常表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。乘法的话，我记得是按照分配律来展开的，比如两个复数相乘，各自的部分相乘后合并同类项，特别是i²会变成-1。 接下来，用户可能需要具体的计算步骤。比如，假设有两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，它们的乘积应该是(ac - bd) + (ad + bc)i。这是因为当我们将两个复数相乘时，会得到ac + adi + bci + bdi²，而i²替换为-1后，bd部分变成了负数，所以实部是ac - bd，虚部是ad + bc。 另外，用户可能对极坐标形式下的复数乘法感兴趣。极坐标下，复数可以表示为模长和幅角，相乘的话，模长相乘，幅角相加。公式就是r1*r2 [cos(θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2)]。这部分可能需要用欧拉公式来解释，这样更直观。 然后，用户可能需要代码实现的例子。比如用Python的话，可以定义两个复数，直接用*运算符，或者手动计算实部和虚部。这时候要注意到Python原生支持复数类型，但如果是其他语言比如Java，可能需要自己创建类和方法来处理。 可能还需要考虑一些边界情况，比如有用户提到零或者纯实数、纯虚数的情况，但根据问题描述，用户可能只需要基础的方法。此外，应用场景比如信号处理中的复数乘法应用，但用户的问题可能更关注计算本身而不是应用。 在整理回答时，需要分点说明代数法和极坐标法，每个方法下给出公式和例子。代码部分要区分Python内置和手动实现，可能需要展示两种方式。同时，数学公式要正确使用行内和独立格式，确保变量包裹在$符号里。 最后，生成相关问题时要基于用户的问题和回答内容，比如极坐标法的详细步骤、几何意义、编程实现中的问题，或者与其他运算的关系。确保三个相关问题相关且具体，帮助用户深入理解复数乘法。</think>**复数乘法的定义与计算方法** **代数形式计算法** 对于复数$z_1 = a + b i$和$z_2 = c + d i$，其乘积定义为： $$z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$ 展开过程通过分配律实现，并利用虚数单位性质$i^2 = -1$。例如： $(2 + 3i) \cdot (4 - 5i) = (2 \cdot 4 - 3 \cdot (-5)) + (2 \cdot (-5) + 3 \cdot 4)i = 23 + 2i$。 **极坐标形式计算法** 若复数表示为极坐标形式$z_1 = r_1 (\cosθ_1 + i \sinθ_1)$和$z_2 = r_2 (\cosθ_2 + i \sinθ_2)$，则乘积为： $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \left[ \cos(θ_1 + θ_2) + i \sin(θ_1 + θ_2) \right]$$ 此方法通过模长相乘、辐角相加简化运算。例如： $z_1 = 5 (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$和$z_2 = 2 (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$的乘积模为$10$，辐角为$75^\circ$。 **编程实现示例** Python内置复数类型可直接运算： ```python z1 = complex(2, 3) z2 = complex(4, -5) result = z1 * z2 # 输出 (23+2j) ``` 手动实现代数公式： ```python def multiply_complex(a, b, c, d): real = a * c - b * d imag = a * d + b * c return (real, imag) ```
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