5、有限状态自动机与双向下推自动机的研究与应用

有限状态自动机与双向下推自动机的研究与应用

1. p - 可子序列转换器的相关研究

1.1 双胞胎属性证明

在有限状态转换器的研究中，有一个重要的性质被称为双胞胎属性。通过一系列的推导可以证明，对于某个结构 T 中的任意两个兄弟节点 q1 和 q2 是双胞胎，即 T 具有双胞胎属性。具体推导过程如下：
首先可以用类似的方法证明：
[o[\pi_2c^r_2]^{-1}o[\pi] = o[\pi_2c^{r + s}_2]^{-1}o[\pi c]\quad(12)]
由此可得：
[o[\pi_1c^{r + s}_1]^{-1}o[\pi_2c^{r + s}_2] = o[\pi_1c^r_1]^{-1}o[\pi_2c^r_2]\quad(13)]
再根据引理 3 可知：
[o[\pi_1]^{-1}o[\pi_2] = o[\pi_1c_1]^{-1}o[\pi_2c_2]\quad(14)]

1.2 确定性算法与终止性证明

假设 T 具有双胞胎属性。在确定性算法执行过程中创建的一个子集 ({(q_1, z_1), \ldots, (q_n, z_n)})，根据构造，状态 (q_1, \ldots, q_n) 都可以通过标记相同输入字符串 w 的路径从初始状态 I 到达。定义 (z) 为：
[z = \sum_{p[\pi]\in I, i[\pi]=w}o[\pi]\quad(15)]
根据算法定义，对于 (i = 1, \ldots, n)，存在一条从 I 到 (q_i) 的路径 (\pi_i)，其输入标记为 w，使得：
[z_i = z^{-1}o[