2、概率与超度量有限自动机计数研究

概率与超度量有限自动机计数研究

1. 引言

计算复杂性理论的一个核心问题是明确概率算法相较于确定性算法的优势。有限自动机是探索这一问题的简单模型。1981 年，Freivalds 展示了对于任意 ε > 0，双向概率自动机能够以 1 - ε 的概率识别非正则语言 {0ⁿ1ⁿ | n ≥ 1}。本文聚焦于概率和超度量自动机在计数问题上的描述复杂性优势，即识别单字一元语言 Cₙ = {1ⁿ}。研究表明，概率和超度量自动机在计数问题上表现出色，在许多模型中仅需恒定数量的状态。

2. 有限自动机

• 定义
  • 单向确定性有限自动机（1DFA） ：是一个元组 A = (Q, S, δ, q₀, F)，其中 Q 是有限状态集，S 是输入字母表，δ : Q × S → Q 是转移函数，q₀ ∈ Q 是起始状态，F ⊆ Q 是接受状态集。
  • 单向非确定性有限自动机（1NFA） ：是一个元组 A = (Q, S, δ, q₀, F)，其中 δ : Q × S → 2^Q 是转移函数，其余定义与 1DFA 类似。
  • 单向交替自动机（1AFA） ：是一个元组 M = (Σ, Π, S, δ, q₀, F)，其中 Σ 和 Π 分别是存在状态和通用状态的有限集，Q = Σ ∪ Π，δ : Q × S → 2^Q 是转移函数，q₀ ∈ Q 是起始状态，F ⊆ Q 是接受状态集。
• 计数结果