洛谷P1040 加分二叉树(DP)
题目描述
设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为(1,2,3,…,n),其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第i个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树subtree(也包含tree本身)的加分计算方法如下:subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分+subtree的根的分数。
若某个子树为空,规定其加分为1,叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,…,n)且加分最高的二叉树tree。要求输出;
(1)tree的最高加分
(2)tree的前序遍历
输入输出格式
输入格式:
第1行:一个整数n(n<30),为节点个数。第2行:n个用空格隔开的整数,为每个节点的分数(分数<100)。
输出格式:
第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过4,000,000,000)。第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。
输入输出样例
输入样例#1:
55 7 1 2 10
输出样例#1:
1453 1 2 4 5
解题分析
由于二叉树的中序遍历为1, 2, 3, ..., n,因此该二叉树的特点是:当根节点为k时,编号小于k的结点都在其左子树上,而大于k的结点都在其右子树上。这个特点符合区间动态规划的特性,因此可以采用区间动态规划。状态:f(i, j),表示有区间[i, j]内的结点构成的二叉树的最高加分。
状态转移方程:f(i, j) = max(f(i, k-1)*f(k+1, j) + in_order(k)),其中in_ord(k)为结点k的分值。
初始条件:根据题目的要求有f(i, i)=in_order(i),另外,为了实现方便,可设f(i+1, i)=1。
为了输出前序遍历,可设root[i][j],表示在区间[i, j]中取得最大加分的根节点,这样在输出前序遍历时,可先输出root[1][n],然后递归地分别输出其左子树的根节点和右子树的根节点。
root[i][j]的值的为在状态转移方程中取最大值的那个k。
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 32
#define MAX(a, b) ((a)>(b)?(a):(b))
int n, in_ord[N], f[N][N], root[N][N];
void pri_ord(int st, int en) {
int r = root[st][en];
cout<