13、反馈控制：LQG、模态控制与稳定性准则

反馈控制：LQG、模态控制与稳定性准则

在反馈控制领域，有多种重要的控制方法和稳定性判断准则，下面将详细介绍线性二次高斯（LQG）问题、模态控制以及稳定性准则。

线性二次高斯（LQG）问题

LQG问题的核心是在存在过程噪声和测量噪声的情况下，找到一个最优控制，以最小化性能函数。

问题描述

首先，简化输出方程，去除馈通项 $D$ ，得到状态空间方程：
- $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$
- $y(t) = Cx(t)$

考虑过程噪声 $w(t)$ 和测量噪声 $v(t)$ 后，方程改写为：
- $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) + T w(t)$
- $y(t) = Cx(t) + v(t)$

假设噪声源是不相关的、零均值的高斯白噪声随机向量，其相关矩阵定义如下：
- $E{v(t)v^T(t)} = R$
- $E{w(t)w^T(t)} = Q$
- $E{w(t)v^T(t)} = N$

LQG问题的目标是找到一个最优控制，最小化性能函数 $J$ ：
$J = \lim_{t \to \infty} E{x^T(t) Qx(t) + u^T(t)Ru(t)}$

根据分离原理，LQG问题的解可以通过独立求解最优调节器问题和最优估计问题得到。

求解步骤

1. 最优调节器问题 ：根据卡尔曼滤波理论，要最小化 $\lim_{t \to \infty} E{[x(t)