【codeforces 1026 D】 Shortest Cycle（最小环）

最新推荐文章于 2025-06-06 10:35:19 发布

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最小环

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本文探讨了一种新颖的方法来解决特定条件下的图论问题。在给定数组中，通过分析二进制位数的出现次数，可以高效地计算出构成图的最小环。当满足特定条件时，可以直接得出最小环的大小为3。对于不满足条件的情况，文章提供了一个使用Floyd算法进行计算的示例。

题面

题意：

一个长度为 $n$ 的数组，如果 $a_{i} \& a_{j}!=0$ ，那么 $i$ 和 $j$ 之间就有一条边，计算所构成图的最小环。
$\leq n \leq 100000,1 \leq a_i \leq 10^{18})$

思路

这个题目的想法还是比较妙的，你会发现如果数组 $a$ 把所有非 $0$ 的数字去掉( $0$ 没有任何意义)，剩下的数字的个数 $n$ 如果满足 $\ge 3*64$ ，那么最小环一定为 $3$ ，因为这样一定满足每个数字的二进制位数的某一位出现了三次，那么这三个数字就一定能够构成一个环，答案显然为 $3$ ，而对于 $n < 3 * 64$ 的情况，我们可以直接利用 $f l o y e d$ $O(n^3)$ 计算最小环。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+100;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll llINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define fep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
inline bool read(ll &num) {
    char in;bool IsN=false;
    in=getchar();
    if(in==EOF) return false;
    while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();
    if(in=='-'){ IsN=true;num=0;}
    else num=in-'0';
    while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9'){
            num*=10,num+=in-'0';
    } 
    if(IsN) num=-num;
    return true;
}
ll n,ans,rt,val[500][500],dis[500][500],a[N];
bool vis[N];
int num[100];
int main(){
   // freopen("1.in", "r", stdin);
    read(n);
    rep(i,1,n){
         read(a[i]);
         if(!a[i]){
             i--;n--;continue;
         }
    }
    if(n>=3*64){
        cout<<3<<endl;
        return 0;
    }
    rep(i,1,n){
        rep(j,1,n){
            val[i][j]=dis[i][j]=99999999999999;
            if(i!=j&&(a[i]&a[j])){
                val[i][j]=dis[i][j]=1;
            }
        }
    }
    ll ans=1e9+100;
    rep(k,1,n){
        rep(i,1,k-1){
            rep(j,1,i-1){
                ans=min(ans,dis[i][j]+val[i][k]+val[k][j]);
            }
        }
        rep(i,1,n){
            rep(j,1,n){
                dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
            }
        }
    }
    if(ans>1e9) cout<<-1<<endl;
    else cout<<ans<<endl;
    return 0;
}