"蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营5-F-A Stack of CDs
题目大意
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33190/F
来源:牛客网
有nnn个圆盘,它们堆在一个二维平面上,彼此之间可能会覆盖对方,求从上往下看能看到的圆盘轮廓周长。
输入的顺序代表了圆盘从下到上的顺序。
解析
这道题可以说就是一道数学题,做法很多,我的思路如下:
- 对于一个圆盘aia_iai,只需要看编号大于iii的圆盘有没有将其覆盖。
- 以水平向右为始边,逆时针方向为正方向,角度均用弧度制。
- 将圆盘aia_iai被覆盖的弧对应的圆心角的左右边界记录下来,并且在最后把有交集的区间合并。
- 答案即为所有圆盘的周长减去每个圆盘被覆盖的弧长。
唯一的难点在于求被覆盖圆弧对应的圆心角。对于圆aaa和圆bbb(bbb在aaa上方),我们要考虑他们的四种关系(两圆圆心相距ddd,即∣AB∣=d|AB| = d∣AB∣=d)。
-
相交:
如图所示,可用余弦定理求出cosθ=(ra2+d2−rb2)/(2×d×ra)\cos \theta = (r_a^2 + d^2 - r_b^2)/(2\times d\times r_a)cosθ=(ra2+d2−rb2)/(2×d×ra),从而求出θ(∠BAD)\theta(\angle BAD)θ(∠BAD)。
为了使所有角的区间在[0,2×π][0,2\times \pi][0,2×π]之间,有时要将一个区间拆成两个,具体见代码。 -
相离
没有覆盖,直接跳过。
此时ra+rb≥dr_a + r_b \ge dra+rb≥d -
aaa包含bbb
bbb没有覆盖aaa,也直接跳过。
此时rb+d≤rar_b +d \le r_arb+d≤ra -
bbb包含aaa
aaa被bbb完全覆盖,直接在aaa被覆盖的角的区间加入[0,2×π][0 , 2 \times \pi][0,2×π]
此时ra+d≤rbr_a + d \le r_bra+d≤rb
参考代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct node{
double l,r;
};
struct circle{
ll x,y,r;
}c[1010];
const double pi = acos( -1.0 );
double dis(circle a,circle b){
return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
bool cmp(node a,node b){
return a.l < b.l;
}
node angle[1100][2010];
int n,cnt[1100];
int main(){
while(~scanf("%d",&n)){
node em;
em.l = 0.0;
em.r = 0.0;
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
for(int i=0;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=n;j++){
angle[i][j] = em;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld%lld%lld",&c[i].x,&c[i].y,&c[i].r);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i + 1;j<=n;j++){
double d = dis(c[i],c[j]),r1 = 1.0 * c[i].r,r2 = 1.0 * c[j].r;
if(d >= r1 + r2 ) continue;
if(r2 >= r1 + d ){
node x;
x.l = 0.0;
x.r = 2.0 * pi;
angle[i][++cnt[i]] = x;
continue;
}
if (r1 >= r2 + d){
continue;
}
double a = atan2(c[j].y - c[i].y , c[j].x - c[i].x);
double a1 = acos((r1 * r1 + d * d - r2 * r2) / (2.0 * r1 * d));
if(a < 0.0) a = a + 2.0 * pi;
node a2,tmp;
a2.l = a - a1;
a2.r = a + a1;
if(a2.l < 0.0){
tmp.l = a2.l + 2.0 * pi;
tmp.r = 2.0 * pi;
a2.l = 0.0;
angle[i][++cnt[i]] = tmp;
}
if(a2.r > 2.0 * pi){
tmp.l = 0.0;
tmp.r = a2.r - 2.0 * pi;
a2.r = 2.0 * pi;
angle[i][++cnt[i]] = tmp;
}
angle[i][++cnt[i]] = a2;
}
}
double ans = 0.0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans += c[i].r * 2.0 * pi;
int tcnt = 0;
if(!cnt[i])continue;
sort(angle[i] + 1,angle[i] + cnt[i] + 1,cmp);
for(int j=2;j<=cnt[i];j++){
if(angle[i][j].l <= angle[i][j - 1].r){
angle[i][j].l = angle[i][j - 1].l;
angle[i][j].r = max(angle[i][j - 1].r , angle[i][j].r);
}
else angle[i][tcnt++] = angle[i][j - 1];
}
angle[i][tcnt++] = angle[i][cnt[i]];
for(int j=0;j<tcnt;j++){
ans -= 1.0 * c[i].r * (angle[i][j].r - angle[i][j].l);
}
}
printf("%.12f\n",ans);
}
}