“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营5-F-A Stack of CDs

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题目大意

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33190/F
来源：牛客网
有$n$个圆盘,它们堆在一个二维平面上,彼此之间可能会覆盖对方,求从上往下看能看到的圆盘轮廓周长。
输入的顺序代表了圆盘从下到上的顺序。

解析

这道题可以说就是一道数学题,做法很多,我的思路如下:

• 对于一个圆盘$a_i$,只需要看编号大于$i$的圆盘有没有将其覆盖。
• 以水平向右为始边,逆时针方向为正方向,角度均用弧度制。
• 将圆盘$a_i$被覆盖的弧对应的圆心角的左右边界记录下来,并且在最后把有交集的区间合并。
• 答案即为所有圆盘的周长减去每个圆盘被覆盖的弧长。

唯一的难点在于求被覆盖圆弧对应的圆心角。对于圆$a$和圆$b$($b$在$a$上方),我们要考虑他们的四种关系(两圆圆心相距$d$,即$|AB|=d$)。

1. 相交:
   

   如图所示,可用余弦定理求出$\cos \theta =(r_a^2+d^2-r_b^2)/(2\times d\times r_a)$,从而求出