"蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营6-M-Z-Game on grid
题目大意
Alice和Bob在一个n×mn\times mn×m的棋盘上玩游戏,起点为(0,0)(0,0)(0,0),每次只能向下移一格或向右移一格,即从(x,y)(x,y)(x,y)移至(x+1,y)(x+1,y)(x+1,y)或(x,y+1)(x,y+1)(x,y+1)。棋盘上有’A’和’B’,移动至’A’为Alice赢,移动至’B’为Bob赢,移动至(n,m)(n,m)(n,m)为平局。现在,Alice先移动,问有没有走法使Bob无论怎么走,结果都为Alice赢或平局或Bob赢。
解析
这是一道博弈题,所以我们先把问题拆分成小一点的情况来分析(黄色框表示当前所在格子)。
-
1
显然,此时不管怎么走,都是Alice赢,都为B也是同理,为Bob赢。 -
2
此时的结果就与走的人有关了,如果此时Alice走,那么Alice可以保证Alice赢或是Bob赢,而如果此时是Bob走,那么Alice就不能保证输赢。因为每次只能走一格,我们可以得到,当位于(x,y)(x,y)(x,y)时,若(x+y)mod2=0(x + y) mod 2=0(x+y)mod2=0说明下一步是Alice走,否则为Bob走。 -
3
当位于边界时,此时只有一个方向可走,所以当前的胜利状态与下一步的状态相同。
我们可以用二进制数来表示当前格点的胜利状态,第一位为111表示位于该节点是Alice能保证Alice能赢,同理第二位表示平局,第三位表示Bob能赢。用dp数组存储,用位运算更新。
用dfs进行记忆化搜索,此时便可省略状态1。若此时为Alice走,dpx,y=dpx+1,y∣dpx,y+1dp_{x,y}=dp_{x+1,y}|dp_{x,y+1}dpx,y=dpx+1,y∣dpx,y+1 (∣|∣表示位或)因为当Alice走时,她走不同的点就能保证对应点的胜利状态);若此时为Bob走,dpx,y=dpx+1,y&dpx,y+1dp_{x,y} =dp_{x+1,y} \& dp_{x,y+1}dpx,y=dpx+1,y&dpx,y+1(&\&&表示位于)因为当Bob走时只有两点胜利状态相同的部分才能留下。答案看dp0,0dp_{0,0}dp0,0。
参考代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t,n,m,dp[510][510];
char mapp[510][510];
int dfs(int x,int y){
if(dp[x][y] != -1) return dp[x][y];
if(mapp[x][y] == 'A') return dp[x][y] = 1;
if(mapp[x][y] == 'B') return dp[x][y] = 1 << 2;
if(x == n - 1 && y == m - 1) return dp[x][y] = 1 << 1;
if(x == n - 1) return dp[x][y] = dfs(x,y + 1);
if(y == m - 1) return dp[x][y] = dfs(x + 1,y);
if((x + y) % 2 == 0) return dp[x][y] = dfs(x + 1,y) | dfs(x,y + 1);
else return dp[x][y] = dfs(x + 1,y) & dfs(x,y + 1);
}
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++) scanf(" %s",&mapp[i]);
int ans = dfs(0,0);
if(ans & 1) printf("yes ");
else printf("no ");
if(ans & (1 << 1)) printf("yes ");
else printf("no ");
if(ans & (1 << 2)) printf("yes\n");
else printf("no\n");
}
}