数论
质数
欧拉线性筛
void get_prime(int n)
{
int prime[n];
bool num[N];
int cnt = 0
for(int i = 1;i <= n;i ++) num[i] = i;
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(!num[i]) prime[++ cnt] = i;
for(int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n;j ++)
{
num[i * prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
}
约数
算术基本定理
正整数 N 能够被唯一分解成 N = p 1 c 1 p 2 c 2 . . . p m c m , 其中 p 为质数， c 为正整数，且满 p 1 < p 2 < . . . < p m 正整数N能够被唯一分解成N = p_1^{c_1}p2^{c_2}...p_m^{c_m},其中p为质数，c为正整数，且满p_1 < p_2 < ... < p_m 正整数N能够被唯一分解成N=p1c1p2c2...pmcm,其中p为质数，c为正整数，且满p1<p2<...<pm
N 的正约数的个数为： ∏ i = 1 m ( c i + 1 ) N的正约数的个数为：\prod_{i = 1} ^ {m} { (c_i + 1)} N的正约数的个数为：i=1∏m(ci+1)
解释一下正约数的个数问题：其实本质上是一个乘法原理，对于每一个质数
p
p
p而言，有
c
i
+
1
c_i + 1
ci+1种选择的方案.
即从
0
到
c
i
0到c_i
0到ci。
N的正约数的和为
∏
i
=
1
m
(
∑
j
=
1
c
i
(
p
i
)
j
)
\prod^m_{i = 1}(\sum_{j = 1}^{c_i} (p_i)^j)
i=1∏m(j=1∑ci(pi)j)
求N的正约数集合（试除法）
void get_factor(int n)
{
int factor[sqrt(n)],cnt = 0;
for(int i = 1;i * i <= n;i ++)
{
if(n % i == 0)
{
factor[++ m] = i;
if(n / i != i)
factor[++ m] = n / i;
}
}
}
求1到n每个数的正约数集合——倍数法
vector<int > factor[500010];
for(int i = 1;i <= n;i ++)
for(int j = 1;j <= n / i;j ++)
factor[i * j].push_back(i);
互质与欧拉函数
1~N中与N互质的数的个数叫做欧拉函数
φ
(
n
)
=
n
∗
∏
质数
p
∣
n
(
1
−
1
/
p
)
\varphi(n) = n * \prod_{质数p|n}(1 - 1/p)
φ(n)=n∗质数p∣n∏(1−1/p)
求一个数的欧拉函数值：
int euler(int n)
{
int ans = n;
for(int i = 2;i * i <= n;i ++)
{
if(n % i == 0)
{
ans = ans / i * (i - 1);
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}
性质
1.任意n > 1,1~n中与n互质的数之和为 n ∗ φ ( n ) / 2 n * \varphi (n) / 2 n∗φ(n)/2
2.若 a , b 互质，则 φ ( a b ) = φ ( a ) ∗ φ ( b ) a,b互质，则\varphi(ab) = \varphi(a)*\varphi(b) a,b互质，则φ(ab)=φ(a)∗φ(b)
3.设p为质数，若p能被n整除，且 p 2 p^2 p2能被n整除，则 φ ( n ) = φ ( n / p ) ∗ p \varphi(n) = \varphi(n / p)*p φ(n)=φ(n/p)∗p
4.设p为质数，若p能被n整除，但 p 2 p^2 p2不能被n整除，则 φ ( n ) = φ ( n / p ) ∗ ( p − 1 ) \varphi(n) = \varphi(n / p) * (p - 1) φ(n)=φ(n/p)∗(p−1)
5.
∑
d
∣
n
φ
(
d
)
=
n
\sum_{d|n} \varphi(d) = n
∑d∣nφ(d)=n
证明：
首先，对于两个互质的数
n
，
m
∑
d
∣
n
φ
(
d
)
=
n
=
φ
(
d
1
)
+
.
.
.
+
φ
(
d
x
)
同理，
m
也用上面的方式表示
∑
d
∣
n
φ
(
d
)
∗
∑
d
∣
m
φ
(
c
)
=
(
φ
(
d
1
)
+
.
.
.
+
φ
(
d
x
)
)
∗
(
φ
(
c
1
)
+
.
.
.
+
φ
(
c
y
)
)
由于
n
，
m
互质，所以展开之后就可以得到这个函数也是积性函数。
对于任意一个质因数
p
而言，
∑
d
∣
p
m
φ
(
d
)
=
φ
(
1
)
+
φ
(
p
)
+
φ
(
p
2
)
.
.
.
+
φ
(
p
m
)
这是一个等比数列，它的和为
p
m
所以
f
(
n
)
=
∏
i
=
1
m
f
(
p
i
c
i
)
=
∏
i
=
1
m
p
i
c
i
=
n
;
证明： \\首先，对于两个互质的数n，m\\ \sum_{d|n}\varphi(d) = n = \varphi(d_1) +...+ \varphi(d_x) \\同理，m也用上面的方式表示\\ \sum_{d|n}\varphi(d) * \sum_{d|m}\varphi(c) = (\varphi(d_1) + ...+\varphi(d_x))*(\varphi(c_1) +...+ \varphi(c_y))\\ 由于n，m互质，所以展开之后就可以得到这个函数也是积性函数。\\ 对于任意一个质因数p而言，\sum_{d|p^m}\varphi(d) = \varphi(1) + \varphi(p) + \varphi(p^2)...+\varphi(p^m)\\ 这是一个等比数列，它的和为p^m\\ 所以f(n) = \prod_{i = 1}^mf(p_i^{c_i})=\prod_{i = 1}^mp_i^{c_i} = n;
证明：首先，对于两个互质的数n，md∣n∑φ(d)=n=φ(d1)+...+φ(dx)同理，m也用上面的方式表示d∣n∑φ(d)∗d∣m∑φ(c)=(φ(d1)+...+φ(dx))∗(φ(c1)+...+φ(cy))由于n，m互质，所以展开之后就可以得到这个函数也是积性函数。对于任意一个质因数p而言，d∣pm∑φ(d)=φ(1)+φ(p)+φ(p2)...+φ(pm)这是一个等比数列，它的和为pm所以f(n)=i=1∏mf(pici)=i=1∏mpici=n;
求1~n的数的欧拉函数值
void get_euler(int n)
{
int v[n]={0},prime[n],phi[n];
int cnt = 0;
for(int i = 2;i <= n;i ++)
{
if(v[i] == 0)
{
v[i] = i;
prime[++ cnt] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for(int j = 1;j <= m && i * prime[j] <= n;j ++)
{
v[i * prime[j]] = prime[j];
phi[i * prime[j]] = phi[i] * (i % prime[j] ? prime[j] : prime[j] - 1);
if(i % prime[j] == 0)break;
}
}
}
同余
定义
若整数a和整数b除以正整数m所得到的余数相等，则称a，b同余.
同余类与剩余类
对于任意a属于[0,m - 1],集合 {a + km}(k 属于 Z)的所有数mod m同余，余数都是a，称该集合是一个模m的同余类。
模m的同余类一共有m个,它们构成m的完全剩余系
1~m中与m互质的数代表的同余类共有 φ ( m ) \varphi(m) φ(m)个,构成简化剩余系.
性质:
1. m ∣ a − b ⇔ a ≡ b ( m o d m ) m | a - b \Leftrightarrow a \equiv b ( \mod m) m∣a−b⇔a≡b(modm)
因为 a , b 对于 m 的余数相等 , 所以很容易证明 , a − b 是能够被 m 整除的 因为a,b对于m的余数相等,所以很容易证明,a - b 是能够被m整除的 因为a,b对于m的余数相等,所以很容易证明,a−b是能够被m整除的
（这个性质多用于之后证明两个数是否同余）
若 a 1 ≡ b 1 ( m o d m ) , a 2 ≡ b 2 ( m o d m ) a_1 \equiv b_1(\mod m),a_2 \equiv b_2(\mod m) a1≡b1(modm),a2≡b2(modm)
那么存在以下性质：
2. a 1 ± a 1 ≡ b 1 ± b 1 ( m o d m ) a_1 \pm a_1 \equiv b_1 \pm b_1 (\mod m) a1±a1≡b1±b1(modm)
证明：
a
1
+
a
2
−
b
1
−
b
2
=
(
a
1
−
b
1
)
+
(
a
2
−
b
2
)
因为加号两边的数都已经是
m
的倍数，所以原式成立
a_1 + a_2 - b_1 - b_2 = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2)\\ 因为加号两边的数都已经是m的倍数，所以原式成立
a1+a2−b1−b2=(a1−b1)+(a2−b2)因为加号两边的数都已经是m的倍数，所以原式成立
3.
a
1
a
2
≡
b
1
b
2
(
m
o
d
m
)
a_1a_2 \equiv b_1b_2(\mod m)
a1a2≡b1b2(modm)
证明：
a
1
a
2
−
b
1
b
2
=
a
1
a
2
−
a
1
b
2
+
a
1
b
2
−
b
1
b
2
=
a
1
(
a
2
−
b
2
)
+
b
2
(
a
1
−
b
1
)
因为
(
a
2
−
b
2
)
和
(
a
1
−
b
1
)
都是
m
的倍数
所以整个式子能够被
m
整除，根据性质一，成立。
a_1a_2 - b_1b_2 = a_1a_2 -a_1b_2 + a_1b_2 - b_1b_2\\ =a_1(a_2 - b_2) + b_2(a_1-b_1)\\ 因为(a_2 - b_2)和(a_1-b_1)都是m的倍数 \\ 所以整个式子能够被m整除，根据性质一，成立。
a1a2−b1b2=a1a2−a1b2+a1b2−b1b2=a1(a2−b2)+b2(a1−b1)因为(a2−b2)和(a1−b1)都是m的倍数所以整个式子能够被m整除，根据性质一，成立。
4.
a
1
k
≡
b
1
k
(
m
o
d
m
)
a_1^k \equiv b_1^k(\mod m)
a1k≡b1k(modm)
这个式子是性质三特例的变形。
费马小定理
若p是质数，则对于任意整数a，有
a
p
≡
a
(
m
o
d
p
)
在数学上，常用的是，若
p
不能整除
a
，
a
p
−
1
≡
1
(
m
o
d
m
)
a^p \equiv a(\mod p)\\ 在数学上，常用的是，若p不能整除a，a^{p - 1} \equiv 1(\mod m)
ap≡a(modp)在数学上，常用的是，若p不能整除a，ap−1≡1(modm)
证明：
首先，证明对于
1
到
p
中的数
,
它们
m
o
d
p
的值各不相等。
反证法：如果存在
1
<
=
i
<
j
<
=
p
使得
p
∣
(
j
−
i
)
.
那么
j
−
i
至少要等于
p
，但是因为取值范围的缘故，
1
<
=
j
−
i
<
=
p
−
1
所以不存在。
因此原性质成立。
然后利用之前的性质
3
可以得到：
1
∗
2
∗
.
.
.
∗
(
p
−
1
)
≡
a
∗
2
a
∗
.
.
.
∗
(
p
−
1
)
a
(
m
o
d
p
)
因为
1
∗
2
∗
.
.
.
∗
(
p
−
1
)
与
p
互质，所以两边同时去掉它依然成立
所以就得到了
a
p
−
1
≡
1
(
m
o
d
p
)
首先，证明对于1到p中的数,它们\mod p 的值各不相等。 \\反证法：如果存在1 <= i < j <=p使得p|(j - i). \\那么j - i至少要等于p，但是因为取值范围的缘故，1 <= j - i <= p - 1\\ 所以不存在。 \\因此原性质成立。 \\然后利用之前的性质3可以得到：\\ 1 * 2 *...*(p - 1) \equiv a * 2a * ...*(p - 1)a(\mod p)\\ 因为1*2*...*(p - 1) 与p互质，所以两边同时去掉它依然成立\\ 所以就得到了a^{p - 1} \equiv 1(\mod p)
首先，证明对于1到p中的数,它们modp的值各不相等。反证法：如果存在1<=i<j<=p使得p∣(j−i).那么j−i至少要等于p，但是因为取值范围的缘故，1<=j−i<=p−1所以不存在。因此原性质成立。然后利用之前的性质3可以得到：1∗2∗...∗(p−1)≡a∗2a∗...∗(p−1)a(modp)因为1∗2∗...∗(p−1)与p互质，所以两边同时去掉它依然成立所以就得到了ap−1≡1(modp)
欧拉定理
若正整数 a ， n 互质，则 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) 证明：对于任意 a i ， a j ，若 a i ∗ a ≡ a ∗ a j , 则 a ∗ ( a i − a j ) ≡ 0 ( m o d n ) 因为 a , n 互质 , 所以 a i − a j ≡ 0. 即 a i ≡ a j 故当 a i 不等于 a j 时 , a a i , a a j 也代表不同的同余类 . 若正整数a，n互质，则a^{\varphi(n)} \equiv 1(\mod n)\\ \\ 证明：对于任意a_i，a_j，若a_i * a\equiv a* a_j,则a * (a_i - a_j) \equiv 0(\mod n)\\ 因为a,n互质,所以a_i- a_j \equiv 0.即a_i \equiv a_j\\ 故当a_i不等于a_j时,aa_i,aa_j也代表不同的同余类.\\ 若正整数a，n互质，则aφ(n)≡1(modn)证明：对于任意ai，aj，若ai∗a≡a∗aj,则a∗(ai−aj)≡0(modn)因为a,n互质,所以ai−aj≡0.即ai≡aj故当ai不等于aj时,aai,aaj也代表不同的同余类.
欧拉定理的推论
若正整数 a ， n 互质，那么有 : a b ≡ a b m o d φ ( n ) ( m o d n ) 证明： 设 b = q φ ( n ) + r , 其中 r = b m o d φ ( n ) 所以 a b = a q φ ( n ) + r a q φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) 所以 a q φ ( n ) + r ≡ a r ≡ a b m o d φ ( n ) 若正整数a，n互质，那么有:\\ a^b \equiv a^{b \mod \varphi(n)}(\mod n)\\ 证明：\\ 设 b = q\varphi(n) + r ,其中r = b \mod \varphi(n)\\ 所以a^b = a^{q\varphi(n) + r}\\ a^{q\varphi(n)} \equiv 1(\mod n)\\ 所以a^{q\varphi(n) + r} \equiv a^r \equiv a^{b \mod \varphi(n)} 若正整数a，n互质，那么有:ab≡abmodφ(n)(modn)证明：设b=qφ(n)+r,其中r=bmodφ(n)所以ab=aqφ(n)+raqφ(n)≡1(modn)所以aqφ(n)+r≡ar≡abmodφ(n)
特别的，当a和n不一定互质时且b > φ ( n ) \varphi (n) φ(n) 时，有 a b ≡ a b m o d φ ( n ) + φ ( n ) a^{b} \equiv a^{b \mod \varphi(n) + \varphi(n)} ab≡abmodφ(n)+φ(n)
欧几里得算法扩展
bezout定理
对于任意整数 a ， b 存在一对整数 x ， y ，满足 a x + b y = g c d ( a , b ) 对于任意整数a，b存在一对整数x，y，满足ax + by = gcd(a,b) 对于任意整数a，b存在一对整数x，y，满足ax+by=gcd(a,b)
对于 a x + b y = c ，如果 g c d （ a , b ） ∣ c , 那么有解，反之无解 对于ax +by = c，如果gcd（a,b）|c,那么有解，反之无解 对于ax+by=c，如果gcd（a,b）∣c,那么有解，反之无解
直接上代码le:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}
int d = exgcd(b,a % b,x,y);
int z = x;x = y;y = z - y * (a / b);
return d;
}
这份代码最后返回值为 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b) ，因为x，y是引用的，所以其值会改变。
利用上述代码可以找出一组特解，然后可以得出通解：
x
=
c
/
g
∗
x
0
+
b
/
g
∗
t
y
=
c
/
g
∗
y
0
+
a
/
g
∗
t
g
=
g
c
d
(
a
,
b
)
x = c / g * x_0 + b/g * t\\ y = c / g * y_0 + a / g * t\\ g = gcd(a,b)
x=c/g∗x0+b/g∗ty=c/g∗y0+a/g∗tg=gcd(a,b)
乘法逆元
对与一个整数a，有a*x ≡ \equiv ≡ 1( m o d p \mod p modp),那么整数x为a的模乘法逆元。
一个数a有逆元的充分必要条件是gcd（a，p） = 1；
特别的，当p和a互质的时候，由费马小定理得知： a ∗ a p − 2 ≡ 1 ( m o d p ) a * a^{p - 2}\equiv 1(\mod p) a∗ap−2≡1(modp)
也就是说，a，p互质时， a p − 2 a^{p - 2} ap−2为a的模乘法逆元
线性同余方程
a x ≡ b ( m o d m ) 推出（反推出） m ∣ a x − b 推出（反推出）存在整数 y ，使得 a x + m y = b ax \equiv b(\mod m) 推出（反推出） m|ax - b 推出（反推出）存在整数y，使得ax + my = b ax≡b(modm)推出（反推出）m∣ax−b推出（反推出）存在整数y，使得ax+my=b
有解：参考上文解不定方程。
所以计算时先用欧几里得算法求出 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0满足 a x 0 + m y 0 = g c d ( a , m ) ax_0 + my_0 = gcd(a,m) ax0+my0=gcd(a,m)
x = x 0 ∗ b / g c d ( a , m ) x = x_0 * b / gcd(a,m) x=x0∗b/gcd(a,m)就是原方程的一组特解.
方程的通解: X = x % ( m / g c d ( a , m ) ) + k ( m / g c d ( a , m ) ) ( k 属于整数 ) X = x \% (m/gcd(a,m)) + k(m/gcd(a,m)) (k属于整数) X=x%(m/gcd(a,m))+k(m/gcd(a,m))(k属于整数)
中国剩余定理
代码：
typedef long long LL;
void get_factor()
{
LL n ,a ,m;
LL x0 = 0,m0 = 1,x,y;\\x0代表当前积累下来的候选答案，m0代表积累下来的最小公倍数
for(LL i = 1;i <= n;i ++)
{
cin >> m >> a;\\输入第i个a和m的值
LL d = exgcd(m0,m,x,y);\\欧几里得算法求解
if((a - x0) % d != 0)\\如果a-x0不是d的倍数
{
puts("-1");return 0;\\输出无解
}
LL k = (a - x0) / d * x;\\k为原方程的一个特解
k = (k % m + m) % m;\\将k进行缩小
x0 = x0 + k * m0;\\更新积累的解的值
m0 = m0 / d * m;\\更新积累的m0的值
x0 = (x0 % m0 + m0) % m0;\\将x0进行缩小
}
cout << x0 << endl;
}
BSGS算法
问题 : 给定整数 a , b , p , 其中 p 为质数 , 求一个非负整数 x , 使得 a x ≡ b ( m o d p ) 问题:给定整数a,b,p,其中p为质数,求一个非负整数x,使得a^x\equiv b(\mod p) 问题:给定整数a,b,p,其中p为质数,求一个非负整数x,使得ax≡b(modp)
int power(int a,int n,int p)
{
if(n == 1) return a % p;
int t = power(a ,n / 2,p);
if(n % 2) return (((long long)t * t) % p * (a % p)) % p;
return (long long)t * t % p
}
int baby_step_giant_step(int a,int b,int p)
{
map<int ,int >hash;
hash.clear();
b %= p;
int t = int (sqrt(p)) + 1;
for(int j = 0;j < t;j ++)
{
int val = (long long)b * power(a,j,p) % p;
hash[val] = j;
}
a = power(a,t,p);
if(a == 0) return b == 0 ? 1 : -1;
for(int i = 0;i <= t;i ++)
{
int val = power(a,i,p);
int j = hash.find(val) == hash.end() ? -1 : hash[val];
if(j >= 0 && i * t - j >= 0) return i * t - j;
}
return -1;
}
矩阵乘法
矩阵乘法
( A B ) C = A ( B C ) ( A + B ) C = A C + B C C ( A + B ) = C A + C B 数乘 k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) 不满足交换律 (AB)C=A(BC)\\ (A+B)C = AC+BC\\ C(A + B) = CA + CB\\ 数乘k(AB)=(kA)B=A(kB)\\ 不满足交换律 (AB)C=A(BC)(A+B)C=AC+BCC(A+B)=CA+CB数乘k(AB)=(kA)B=A(kB)不满足交换律
应用：可以将原题构建成为一个向量数组（大概就是如果说ｃ ＝ ａ ＋ ｂ 的话，那么ｃ ＝ ａ ＊ ｘ ＋ ｂ ＊ ｙ）两个向量相加，实际上是由这两个向量能够构成单位向量，来组成另外一个向量．挺抽象的，表述能力有限．
这个构建的模型要能够抽象为一维的（如果是二维比如ｎ ＊ ｍ的话就拉开使数组变成１ ＊ ｎｍ），并且在单位时间内最多发生一次变化．
变化的形式是向量加法，或者常数相乘．
如果需要加速的话，那么还要要求递推式不变，并且向量长度ｌｅｎｔｈ不大．
高斯消元与线性空间
高斯消元
步骤:将原来的M个N元一次方程写为M行N + 1列的矩阵,最后一列为所等于的常数.
然后进行以下步骤:
1.用一个非零的数乘以某一行
2.把其中一行的若干倍加到另一行.
3.交换两行的位置
最后通过初等行变换将增广矩阵变为简化阶梯矩阵的线性方程组求解算法就是高斯消元算法
贴一份模板代码:
洛谷原题: 高斯消元
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double a[110][110];
double b[110];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = 1;j <= n;j ++)
scanf("%lf", & a[i][j]);
scanf("%lf", &b[i]);
}
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
for(int j = i;j <= n;j ++)
{
if(fabs(a[j][i]) > 1e-8)
{
for(int k = 1;k <= n;k ++) swap(a[i][k],a[j][k]);
swap(b[i],b[j]);
break;
}
}
if(fabs(a[i][i]) < 1e-8)
{
puts("No Solution");
return 0;
}
for(int j = 1;j <= n;j ++)
{
if(i == j) continue;
double rate = a[j][i] / a[i][i];
for(int k = 1;k <= n;k ++)
a[j][k] -= a[i][k] * rate;
b[j] -= b[i] * rate;
}
}
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
printf("%.2lf\n",b[i] / a[i][i]);
}
return 0;
}
组合计数
A
n
m
=
n
!
/
(
n
−
m
)
!
A^m_n = n!/(n - m)!
Anm=n!/(n−m)!
C
n
m
=
n
!
/
(
n
−
m
)
!
m
!
组合数的性质
:
C
m
n
=
C
n
n
−
m
C
n
m
=
C
n
−
1
m
+
C
n
−
1
m
−
1
∑
i
=
0
n
C
n
i
=
2
n
C^m_n = n!/(n - m)!m! \\组合数的性质:\\ C_m^n = C^{n - m}_n \\C^m_n = C^m_{n - 1} + C^{m - 1}_{n - 1}\\ \sum_{i = 0}^{n} C_n^i = 2^n
Cnm=n!/(n−m)!m!组合数的性质:Cmn=Cnn−mCnm=Cn−1m+Cn−1m−1i=0∑nCni=2n
二项式定理
( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b + . . . + C n n b n (a + b)^n = C^0_na_n + C ^ 1 _ n a ^{n - 1}b + C ^ 2 _ n a ^ {n - 2}b + ... + C ^ n _ nb_n (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+Cn2an−2b+...+Cnnbn
多重集
包含重复元素的广义集合 , 设 S 为一个集合 , 其中含有 n 1 个 a 1 , . . . 以此类推 . 其全排列为 : n ! / ( n 1 ! n 2 ! . . . n k ! ) 从 S 中取 r 个元素组成一个多重集 , 产生不同多重集的数量 ( r < = n i ) 为 C k + r − 1 k − 1 包含重复元素的广义集合,设S为一个集合,其中含有n_1个a_1,...以此类推.\\ 其全排列为:\\n!/(n_1!n_2!...n_k!) \\ 从S中取r个元素组成一个多重集,产生不同多重集的数量(r<= n_i)为\\ C ^ {k - 1} _ {k + r - 1} 包含重复元素的广义集合,设S为一个集合,其中含有n1个a1,...以此类推.其全排列为:n!/(n1!n2!...nk!)从S中取r个元素组成一个多重集,产生不同多重集的数量(r<=ni)为Ck+r−1k−1
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