集训总结（关于数论部分）

距离集训结束还有6天左右吧……写一下博客总结一下这几天的学习。

首先第一天。上午是老师讲的数论，包括最基础的进制转换，判别回文数， 奇奇怪怪的取模运算，幂运算，线性筛数。gcd和lcm等等……

进制转换算是最基础的了吧，不会贴图就靠口糊了……首先我们最熟悉的数，也就是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，十个数，你可想过为什么只有0~9十个数的？是的，因为我们平时习惯了手上的十根手指，数着数着，就觉得，十进制是最适合的进制，这样不仅能使自己用的进制适合自己，更能用来区分，哦~有十根指头，那么又多了一个人。十进制就是逢十进一。比如一个数字1234，那么这个数字的每一位都是十的整次幂，我们按照从后往前标号，在4下标一个0，3下标一个1……那么这个数就可以表示成4*10^0+3*10^1+2*10^2+1*10^3（a^b为a的b次方），那么就可以同理推得各种进制数的表示法，比如一串二进制数1011，那么就是1*2^0+1*2^1+0*2^2+1*2^3=11（10进制），因为二进制是逢二进一，所以二进制就只有两个数，0和1啦。那么十进制和二进制如何转向呢？我们将十进制的一个数每次除以2取余数，直到所得到的商为0，如11，11/2=5……1，然后继续除，5/2=2……1，2/2=1……0，1/2=0……1，然后将各个余数从后往前写成一串，就是1011（2）啦，别的进制也是同理，就是需要注意，一般使用的进制最高一般为16进制，10用大写的a表示，11用大写的b表示，以此类推。为了不水……就贴个10进制转2进制的伪代码吧……（欢迎大佬纠错……）

void 10->2(int k){for (;k;k/=2)a[++t]=k%2;

        for (;a[t]==0;t--); for (int i=t;i;--i)printf("%d",a[i]);}

判别回文数，不管是哪个进制下都是水题吧……以前刚开始学的时候，我是用两个数组存下两边分别的数然后进行比较的……但是后来发现其实没这么麻烦……对于比较小的数（一般接触的回文数都是小于long long 的吧……）可以直接用一个数存下，然后直接进行比较就可以了……回文数的话，大致意思就是左右对称的数吧……上个b进制下的回文数代码……（伪代码……知道意思即可……）

bool check(int k,int b){//b即为b进制，k为十进制下的该数 
	int s=0,m=k;
	for (;k;k/=b) s=s*b+k%b;
	return s==m; 
}

因为自己懒得敲10进制以上的（说不定上面的可以判别）所以就这样啦……（10进制以上推荐使用数组存）。

取模运算应该大家都会吧……就和快速幂放在一起了……这里不单独写出了……（没有存模板的好习惯……都是写博客的时候手打的QAQ）

写几个特殊的 小学 数学定理吧……我们定义一个数为a

1、若2能整除a的最后一个数字，则a%2=0；

2、若4能整除a的最后两个数字，则a%4=0；

3、若8能整除a的最后三个数字，则a%8=0；

4、若3或9能整除a的各位数字之和，则a%3=0或a%9=0；

5、若5能整除a的最后一个数字，则a%5=0；

6、若25能整除a的最后两个数字，则a%25=0；

7、若125能整除a的最后三个数字，则a%125=0； 

幂运算，下面的幂运算符号都用^表示。

幂运算，即为a^b=a*a*a*a*a……（b个a），不扯简单的……我们来讲解一下高级取模幂运算……

首先，手写的幂运算与C++中一个自带的pow相同，pow（a，b）即为a^b，但是一般来讲，我们要写的幂运算总是会超过long long范围的 （unsigned long long 和int128当然可能可行）一般来讲，会给我们一个取模的数，一般是个大素数，比如1e9+7。这时候我们要做的当然不可能是把整个数算出来再去%一个数，我们需要的就是自己写的快速幂。

const int N=1e9+7;
int fast_pow(int x,int k){//x为底，k为指数 
	int s=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%N) 
		if (k&1) s=x*k%N; //伪装成一行快速幂 
	return s%N;	
}
//讲解一下，当一个数a^b%N时，我们先不管%N，a^b则为(a*a)^(b/2)
//对于这个数a*a我们进行取模，（显然）可以证明%N对之后的运算没有影响
//那么有疑问了，如果b为奇数怎么办呢？我们就将这个数拆成
//(a*a)^(b/2)*a，将这个多出来的a扔到答案s里即可。 

然后讲解一下 线性筛数。

这是一种奇奇怪怪的筛数方法，可以在O（n）的时间内筛出范围内的质数。具体的实现我们直接上代码……还是很好理解的。

void seive( int Max  )
 {    memset( isPrime , true , sizeof( isPrime ));
       isPrime[0 ] = false ;      isPrime[1] = false ;
       for ( int i = 2 ; i <= Max ; i++ )//遍历筛去所有最大因数是i的合数
           {if ( isPrime[i] )   prime[ ++ total ] = i ;//把素数记录下来
             //遍历已知素数表中比i的最小素因数小的素数，并筛去合数
             for ( int j = 1 ; j <= total && i * prime[j] <= Max ; j++)
                  { isPrime[ i * prime[j] ] = false ;
                     if  (!( i % prime[j]))  break;//找到i的最小素因数
                   }
           }
  }

他的基础思想为遇到一个数记录下，然后将这个数乘以2，3，4……直到这个数可以整除他乘的数后停止。比如得到一个6，将6*1标记下，然后6*2标记，发现6%2=0，退出。

gcd（最大公因数）和lcm（最小公倍数）

在讲这两个之前，我们得先贴一个定理，唯一分解定理：每个正整数都可以惟一地表示成素数的乘积，其中素数因子从小到大依次出现（这里的“乘积”可以有0个、1个或多个素因子）。那么我们依然可以用显然来证明。

依靠这个定理，我们可以发现，求一个数的gcd可以将时间复杂度降低到O(log n），也就是常说的辗转相除法。

int gcd(int x,int y){
	return !y?x:(y,x%y);
}//一行gcd，因为压行太丑了……

int gcd(int x,int y){
	if (y==0) return x;
	else gcd(y,x%y);
}

那么计算lcm只需要将x/gcd(x,y)*y/gcd(x,y)*gcd(x,y)即可。

咳咳，那么下面开始进入正文（并不），上面的纯依靠瞎BB，下面则是几个数论的定理（ 其实我自己也不知道怎么证明并且我自己也没怎么搞明白）。

首先是 威尔逊定理， 对于一个素数p，(p-1)!≡-1(mod p)，威尔逊定理的逆定理也成立，即对于一个数，如果(p-1)!≡-1(mod p)，则p为素数。（体谅一下作者在搜狗输入法的符号里找了半天同余符号QAQ）。当然，依然可以用显然证明。 证明。

那就敲个大致上算是证明的代码吧…… 事实是我都不知道这个定理到底有什么用

void Wilson(int p){
	int P=p;
	int s=1;
	for (;--p;s=s*p%P);
	return s==(P-1);
}

费马小定理， 若p为质数，且gcd(p,a)=1,则(a^(p-1))%p=1，也写作a^(p-1)≡1(mod p)。

这两个公式非常有用大家要牢记。 说实话到现在这两个公式除了看看我都不知道能干啥用

欧拉定理，若n，a为正整数，且gcd（n，a）=1，则a^(φn)≡1(mod n)。

φn的意义为，从1~n之内所有质数（素数）的个数，证明就交给百度百科吧…… 证明。

在这里贴个欧拉函数求法，百度百科大佬的程序……

/*
特性 :
1.若a为质数,phi[a]=a-1;
2.若a为质数,b mod a=0,phi[a*b]=phi[b]*a
3.若a,b互质,phi[a*b]=phi[a]*phi[b](当a为质数时,if b mod a!=0 ,phi[a*b]=phi[a]*phi[b])
*/
int m[n],phi[n],p[n],nump;
//m[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;p是存放素数的数组;nump是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int make()
{
        phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!m[i])//i为素数
        {
            p[++nump]=i;//将i加入素数数组p中
            phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知    
        }    
        for (int j=1;j<=nump&&p[j]*i<n;j++)  //用当前已的到的素数数组p筛,筛去p[j]*i
        {
            m[p[j]*i]=1;//可以确定i*p[j]不是素数 
            if (i%p[j]==0) //看p[j]是否是i的约数,因为素数p[j],等于判断i和p[j]是否互质 
            {
                phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; //特性2
                break;
            }
            else phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1); //互质,特性3其,p[j]-1就是phi[p[j]]   
        }
    }
}
 

随便放几道题……可以去洛谷上做一做……luoguP1126，P1096,P1134。

那么这几天的数论总结就到这里……说实话没听懂欧几里得拓展和中国剩余……所以可能得下次写了……