定义
海明校验码(又称汉明码)是一种特殊的(n,k)线性纠错码,由 Richard Hamming 于 1950 年提出,故以发明人命名。海明码具有检错和纠错双功能,它基于奇偶校验原理,能检查2位错误,但只能纠正1位错误。当有多位错码时,它就不适用了。
原理
基于重叠奇偶校验的概念:将原始数据位分成若干个重叠的组,每组设一位奇偶校验位。由于组间有重叠,因此每位原始数据从属于多于一个组。而且每位原始数据的从属关系是不一样的,纠错时,根据哪些组的奇偶校验位出错,就可以唯一地确定是哪一位数据出错。将该位取反就完成了纠错。
总结一 奇偶校验
奇偶校验就是在原始的二进制串中加入0或1,使得串中的1的总数为奇数或偶数,称为奇偶校验。
总结二 海明码校验位的值就是所有被检验位置的1的奇偶结果,偶数为0,奇数为1,也就是所有被校验位置的异或值。
总结三 校验位的位置是固定的,遵循2^n规则,如1,2,4,8,16…
总结四 校验码的长度n遵循:(假设数据为m位二进制)2^n >= n+m+1
总结五 被校验位的位置是校验位的位置的1的匹配位。若校验位位置为1,校验长度为3,那么匹配表达式为将二进制补全到校验长度。1 = 01 = 001 ==> xx1,此时,带校验码的串中所有符合xx1的数据位置都是被校验位。
示例
假设我们传输1001这一串数据,现在要对其做海明码,保证传输结果在接收时可检验是否正确。那步骤如下:
1、确定校验码长度
套入我们上述总结中的2^n >= n+m+1,m=4,解一元方程,n的最小值为3,所以,校验码长度为n=3.
2、扩容
将数据存放总长度扩容为 n+m,也就是数据长度4 + 校验码 长度3,将数据从左依次填入。扩容也就是二进制的左移n=3位。扩容后,数据为1001xxx,其中xxx代表空位。
3、插入校验码位置
按照总结中的校验码位置函数2^n,此时校验码长度为3,那么校验码的位置为1,2,4(从右向左)。按照位置依次填入,如果位置上有数据,那么将数据右移一位。步骤如下:(c代表校验位,此时校验位的值还没有计算,先用c代替)
1001xxc
1001xcc
100c1cc
4、计算校验码
校验码的值按上述总结,需要对校验位所校验的数据做异或得到,那又根据被校验位的位置计算方式,校验码各个位置对应的数据位置关系为:
4.1、校验码位转二进制后的匹配式:
1==》001==》xx1
2==》010==》x1x
4==》100==》1xx
4.2、数据位置转二进制:
位置3:3==》011
位置5:5==》101
位置6:6==》110
位置7:7==》111
4.3、按照校验码匹配式进行数据位匹配:
1:3,5,7
2:3,6,7
4:5,6,7
4.4、计算每个位置的异或值
1:1异或0异或1=0
2:1异或0异或1=0
4:0异或0异或1=1
5 填入校验码
在校验码1,2,3位置填入上述的结果100,得到最后的完整串:
1001100
补充
我读了很多网上的文章,写的非常好,有图非常形象生动,也有逻辑派的,作为程序猿,我觉得需要有个从逻辑到代码能实现的思考模式,自己就写了这个文章。具体代码本来自己写了伪代码,结果发现有人已经实现了。https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42177302/article/details/111320090