白话海明码

定义

海明校验码（又称汉明码）是一种特殊的（n，k）线性纠错码，由 Richard Hamming 于 1950 年提出，故以发明人命名。海明码具有检错和纠错双功能，它基于奇偶校验原理，能检查2位错误，但只能纠正1位错误。当有多位错码时，它就不适用了。

原理

基于重叠奇偶校验的概念：将原始数据位分成若干个重叠的组，每组设一位奇偶校验位。由于组间有重叠，因此每位原始数据从属于多于一个组。而且每位原始数据的从属关系是不一样的，纠错时，根据哪些组的奇偶校验位出错，就可以唯一地确定是哪一位数据出错。将该位取反就完成了纠错。
总结一 奇偶校验
奇偶校验就是在原始的二进制串中加入0或1，使得串中的1的总数为奇数或偶数，称为奇偶校验。
总结二 海明码校验位的值就是所有被检验位置的1的奇偶结果，偶数为0，奇数为1，也就是所有被校验位置的异或值。
总结三 校验位的位置是固定的，遵循2^n规则，如1，2，4，8，16…
总结四 校验码的长度n遵循：（假设数据为m位二进制）2^n >= n+m+1
总结五 被校验位的位置是校验位的位置的1的匹配位。若校验位位置为1，校验长度为3，那么匹配表达式为将二进制补全到校验长度。1 = 01 = 001 ==> xx1，此时，带校验码的串中所有符合xx1的数据位置都是被校验位。

示例

假设我们传输1001这一串数据，现在要对其做海明码，保证传输结果在接收时可检验是否正确。那步骤如下：

1、确定校验码长度

套入我们上述总结中的2^n >= n+m+1，m=4，解一元方程，n的最小值为3，所以，校验码长度为n=3.

2、扩容

将数据存放总长度扩容为 n+m，也就是数据长度4 + 校验码 长度3，将数据从左依次填入。扩容也就是二进制的左移n=3位。扩容后，数据为1001xxx，其中xxx代表空位。

3、插入校验码位置

按照总结中的校验码位置函数2^n，此时校验码长度为3，那么校验码的位置为1，2，4（从右向左）。按照位置依次填入，如果位置上有数据，那么将数据右移一位。步骤如下：(c代表校验位，此时校验位的值还没有计算，先用c代替)
1001xxc
1001xcc
100c1cc

4、计算校验码

校验码的值按上述总结，需要对校验位所校验的数据做异或得到，那又根据被校验位的位置计算方式，校验码各个位置对应的数据位置关系为：

4.1、校验码位转二进制后的匹配式:

1==》001==》xx1
2==》010==》x1x
4==》100==》1xx

4.2、数据位置转二进制：

位置3：3==》011
位置5：5==》101
位置6：6==》110
位置7：7==》111

4.3、按照校验码匹配式进行数据位匹配：

1：3，5，7
2：3，6，7
4：5，6，7

4.4、计算每个位置的异或值

1：1异或0异或1=0
2：1异或0异或1=0
4：0异或0异或1=1

5 填入校验码

在校验码1，2，3位置填入上述的结果100，得到最后的完整串：
1001100

补充

我读了很多网上的文章，写的非常好，有图非常形象生动，也有逻辑派的，作为程序猿，我觉得需要有个从逻辑到代码能实现的思考模式，自己就写了这个文章。具体代码本来自己写了伪代码，结果发现有人已经实现了。https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42177302/article/details/111320090