循环冗余校验码CRC

定义

循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Chec，CRC） 是通过多项式&模2除法给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力，广泛应用于移动通信和磁盘数据存储中。

原理

CRC 的基本原理是：在 K 位信息码后再添加 R 位的校验码，整个编码长度为 N 位，因此，这种编码又称(N,K)码。对于一个给定的(N,K)码，可以证明存在一个最高次幂为 N-K=R 的多项式 G(x)。根据 G(x)可以生成 R 位的校验码，而 G(x)叫作这个 CRC 码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式 C(x)表示，将 C(x)左移 R 位，则可表示成 C(x)×2R 这样 C(x)的右边就会空出 R 位，这就是校验码的位置。通过 C(x)×2R除以生成多项式 G(x)得到的余数就是校验码。
CRC 码的生成步骤为：
（1）将 x 的最高幂次为 R 的生成多项式 G(x)转换成对应的 R+1 位二进制数。
（2）将信息码左移 R 位，相当于对应的信息多项式 C(x)×2R 。
（3）用生成多项式（二进制数）对信息码做模 2 除，得到 R 位的余数。
（4）将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的 CRC 码。

示例

CRC生成多项式为 G（ X） = X4 + X3 + 1，求出二进制序列 10110011的 CRC校验码。
1、将多项式转为R+1二进制。
G（ X） = X4 + X3 + 1中，x的二次方和一次方缺失，所以为0，其他为1，结果为11001
2、将信息码左移R位
上面得出多项式的位数为5，那么R=4,将信息码10110011左移4位后为：
101100110000
3、用多项式二进制11001对信息码101100110000做模2除
余数为：100，不足R位，前面补0，所以余数为0100
4、将余数拼接到信息码左移后空出位置
结果为101100110100

模2除

模2除关键点：
1、除数和被除数的对应位置做异或运算得到余数。
2、未除尽时，如果余数不足R+1位，则商为0，直到余数足够R+1位；否则，商为1
以上述例子为例：

             11010100

---

11001 / 101100110000
             11001

---

               11110
               11001

---

                   11111
                   11001

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                       11000
                       11001

---

                             0100