圆的反演数学证明

Part0

点的反演：
本质上是点与点的映射。
是一个点$(x,y)$根据另一个定点$(a,b)$（一般取原点）和一个常数$k$，进行变换得到一个新点$(x^{\prime },y^{\prime })$，满足$(x,y),(x^{\prime },y^{\prime }),(a,b)$三点共线且$(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })$在$(a,b)$的同一侧且$dist((x,y),(a,b))\ast dist((x^{\prime },y^{\prime }),(a,b))=k$
现在有如下几个$sb$定理要证明：

1. 一条不过原点的直线的反象是一个过原点的圆
2. 一条过原点的直线的反象是一条过原点的直线（这个不证了 笑哭）
3. 一个过原点的圆的反象是一条不过原点的直线
4. 一个不过原点的圆的反象是一个不过原点的圆

在下述证明过程中我们令$(a,b)$等于原点，由于$(x^{\prime },y^{\prime })$在直线$x_{0}y+y_{0}x=0$上那么不妨设$(x^{\prime },y^{\prime })=t(x,y)$。

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Part1

一条不过原点的直线的反象是一个过原点的圆：
证明：
       设直线解析式为$ax+by+c=0$，则有$a{x}_0+b{y}_0=-c$
       两边同时乘$\frac{kt}{c}$得
       $\frac{k}{c}(a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime })=-kt\dots \dots ①$
       又因为x02+y02∗x′2+y′2=k⇒x02+y02∗tx02+y02=k\sqrt{ {x_0}^2+{y_0}^2}*\sqrt{ {x'}^2+{y'}^2}=k\Rightarrow\sqrt{ {x_0}^2+{y_0}^2}*t\sqrt{ {x_0}^2+{y_0}^2}=k