2018.10.14 loj#6003. 「网络流 24 题」魔术球（最大流）

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本文探讨了一种网络流算法的应用，通过动态建图解决特定问题。文章详细介绍了如何将球拆分为两个节点，利用最大流算法进行检验，同时提供了代码实现。此外，文章还讨论了如何在深度优先搜索中更新后继，以输出解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门
网络流好题。

这道题可以动态建图。
不难想到把每个球 $i$ 都拆点成 $i_1$ 和 $i_2$ ，每次连边 $s,i_1),(i_2,t)$ ,如果 $(u, v)$ 可以匹配的话就连边 $u_1,v_2)$ ，然后用最大流检验，如果能流动说明不用加柱子，否则需要新加一个柱子。
题目还要求输出方案。
那么我们在 $d f s$ 的时候更新后继就可以了。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 50005
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
struct edge{int v,c,next;};
int n,ans,tot,bg[60],nxt[N];
bool vis[N];
struct Dinic{
	int first[N],cur[N],cnt,d[N],s,t;
	edge e[N<<1];
	inline void init(){s=0,t=N-1,memset(first,-1,sizeof(first)),cnt=-1;}
	inline void addedge(int u,int v,int c){e[++cnt].v=v,e[cnt].c=c,e[cnt].next=first[u],first[u]=cnt;}
	inline void add(int u,int v,int c){addedge(u,v,c),addedge(v,u,0);}
	inline bool bfs(){
		queue<int>q;
		memset(d,-1,sizeof(d)),d[s]=0,q.push(s);
		while(!q.empty()){
			int x=q.front();
			q.pop();
			for(int i=first[x];~i;i=e[i].next){
				int v=e[i].v;
				if(~d[v]||!e[i].c)continue;
				d[v]=d[x]+1,q.push(v);
			}
		}
		return ~d[t];
	}
	inline int dfs(int p,int f){
		if(p==t)return f;
		int flow=f;
		for(int&i=cur[p];~i;i=e[i].next){
			int v=e[i].v;
			if(!flow)break;
			if(e[i].c&&d[v]==d[p]+1){
				int tmp=dfs(v,min(flow,e[i].c));
				if(v!=t)nxt[p>>1]=v>>1;
				if(!tmp)d[v]=-1;
				e[i].c-=tmp,e[i^1].c+=tmp,flow-=tmp;
			}
		}
		return f-flow;
	}
	inline int solve(){
		int ret=0;
		while(bfs())memcpy(cur,first,sizeof(first)),ret+=dfs(s,0x3f3f3f3f);
		return ret;
	}
}dinic;
int main(){
	n=read(),ans=0,tot=0,dinic.init();
	while(tot<=n){
		++ans,dinic.add(dinic.s,ans*2,1),dinic.add(ans*2+1,dinic.t,1);
		for(int i=sqrt(ans)+1;i*i<ans*2;++i)dinic.add((i*i-ans)*2,ans*2+1,1);
		if(!dinic.solve())bg[++tot]=ans;
	}
	--ans,printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(vis[bg[i]])continue;
		int pos=bg[i];
		vis[pos]=1;
		while(pos)printf("%d ",pos),pos=nxt[pos],vis[pos]=1;
		puts("");
	}
	return 0;
}