李白打酒之全排列

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一、问题描述

话说大诗人李白，一生好饮。幸好他从不开车。一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒2斗。他边走边唱：无事街上走，提壶去打酒。逢店加一倍，遇花喝一斗。这一路上，他一共遇到店5次，遇到花10次，已知最后遇到的是花，他正好把酒喝光了。

请你计算李白遇到店和花的次序，可以把遇店记为a，遇花记为b。则：babaabbabbabbbb就是合理的次序。像这样的答案一共有多少呢？请你计算出所有可能的方案的个数（包含题目给出的）。

注意：通过浏览器提交答案。答案是个整数。不要书写任何多余的内容。

二、解题思路

用1代表遇到花，0代表遇到店。最后一位固定为1，前面14位必须有9个1，5个0。
元素不变，顺序可变，不同的排列顺序对应一种可能的方案，可以将解空间看成是14个数的排列问题。但是存在重复的元素，应该采用可以处理重复元素的全排列方法。

三、相关算法

1.交换法

代码如下（示例）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int number=0;
int a[20]={0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
bool check(){
	int res=2;
	for(int i=0;i<15;i++){
		if(a[i]==0){
			res*=2;
		}else{
			res-=1;
		}
	}
	if(res==0){
		return true;
	}else{
		return false;
	}
}
void f(int p,int a[],int n){
	if(p==n){
		if(check()){
			number++;
		}
		return;
	} 
	for(int i=p;i<n;i++){
		if(i>p&&a[i]==a[i-1]){
			continue;
		}
		swap(a[i],a[p]);
		f(p+1,a,n);
		swap(a[i],a[p]);
	}
} 
int main(){
	f(0,a,14);
	cout<<number<<endl;
	return 0;
}

2.抽取法

代码如下（示例）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int number=0;
int a[20]={0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
int b[20];
int vis[20]={0};
bool check(){
	int res=2;
	for(int i=0;i<14;i++){
		if(b[i]==0){
			res*=2;
		}else{
			res-=1;
		}
	}
	res-=1;
	if(res==0){
		return true;
	}else{
		return false;
	}
}
void f(int a[],int n,int b[],int p){
	if(p==n){
		if(check()){
			number++;
		}
		return;
	} 
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(i>0&&a[i]==a[i-1]&&!vis[i-1]){
			continue;
		}
		if(!vis[i]){
			b[p]=a[i];
			vis[i]=1;
			f(a,n,b,p+1);
			vis[i]=0;
		}
	}
} 
int main(){
	f(a,14,b,0);
	cout<<number<<endl;
	return 0;
}

3.使用next_permutation求解

代码如下（示例）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int number=0;
int a[20]={0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
bool check(){
	int res=2;
	for(int i=0;i<15;i++){
		if(a[i]==0){
			res*=2;
		}else{
			res-=1;
		}
	}
	if(res==0){
		return true;
	}else{
		return false;
	}
} 
int main(){
	do{
		if(check()){
			number++;
		}
	}while(next_permutation(a,a+14));
	cout<<number<<endl;
	return 0;
}

四、运算结果

答案：14