搭积木之全排列

该博客探讨了如何利用全排列算法解决一个特定的三角形堆问题,其中每个节点的值必须大于其父节点的值。文章提供了三种不同的C++实现方法:交换法、抽取法和使用内置函数next_permutation。每种方法都通过检查排列是否满足条件来筛选有效解,并计算满足条件的堆的数量。

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一、问题描述

相关的三角形堆如下所示:
0
2 1
4 3 6
9 5 7 8
条件为下层的孩子的值大于上层的父亲的值,求出所有满足条件的三角形堆的数量。

二、解题思路

解题思路:解空间为10个不重复的数字,每一种不同的顺序代表一种不同的堆放方式,用全排列可以获得所有的堆放方式。在进行全排列中需要判断每个排列方式是否满足条件。

三、相关算法

1.交换法

代码如下(示例):

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int number=0;
int child[2][6]={{1,3,4,6,7,8},{2,4,5,7,8,9}};//记录前6个元素的左、右孩子的下标。第一行表示为前6个元素的左孩子,第二行表示为前6个元素的右孩子。 
bool check(int a[],int n){
	for(int i=0;i<6;i++){  //只有前6个元素才有左右孩子 
		if(a[child[0][i]]<a[i]||a[child[1][i]]<a[i]){ //当第i+1个元素大于其左孩子或者大于其右孩子时不满足条件。 
			return false;
		}
	}
	return true;
}
void f(int p,int a[],int n){
	if(p==n){
		if(check(a,n)){ //当全排列完成后选择满足条件的全排列 
			number++;
			cout<<"   "<<a[0]<<endl;
			cout<<"  "<<a[1]<<"  "<<a[2]<<endl;
			cout<<" "<<a[3]<<"  "<<a[4]<<"  "<<a[5]<<endl;
			cout<<a[6]<<"  "<<a[7]<<"  "<<a[8]<<"  "<<a[9]<<endl;
		}
		return;
	}
	for(int i=p;i<n;i++){
		swap(a[i],a[p]);
		f(p+1,a,n);
		swap(a[i],a[p]);
	}
}
int main(){
	int a[10]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
	int p=0;
	int n=10;
	f(p,a,n);
	cout<<number<<endl;
	return 0;
} 

2.抽取法

代码如下(示例):

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt = 0; //记录全排列含有多少种方式 
int vis[15] = {0}; //记录每个元素是否被访问过
int child[2][6]={{1,3,4,6,7,8},{2,4,5,7,8,9}};//记录前6个元素的左、右孩子的下标。第一行表示为前6个元素的左孩子,第二行表示为前6个元素的右孩子。 
bool check(int b[],int n){
	for(int i=0;i<6;i++){  //只有前6个元素才有左右孩子 
		if(b[child[0][i]]<b[i]||b[child[1][i]]<b[i]){ //当第i+1个元素大于其左孩子或者大于其右孩子时不满足条件。 
			return false;
		}
	}
	return true;
}
void f(int a[],int n,int b[],int p){
	if(p==n){
		if(check(b,n)){ //当全排列完成后选择满足条件的全排列 
			cnt++;
			cout<<"   "<<b[0]<<endl;
			cout<<"  "<<b[1]<<"  "<<b[2]<<endl;
			cout<<" "<<b[3]<<"  "<<b[4]<<"  "<<b[5]<<endl;
			cout<<b[6]<<"  "<<b[7]<<"  "<<b[8]<<"  "<<b[9]<<endl;
		}
		return; 
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(!vis[i]){  //若未被访问过,则将元素追加到新的数组 
			vis[i] = 1;   //将vis[i]置为1,表示其被访问过 
			b[p] = a[i];
			f(a,n,b,p+1);
			vis[i] = 0;  //返回到初始状态,保证后面的抽取是正确的 
		}
	}
} 
int main(){
	int a[15] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
	int b[15]={0};
	int n=10;
	f(a,n,b,0);
	cout<<cnt<<endl;  //求解出满足条件的搭积木的种类数量 
	return 0;
}

3.使用c++中提供的函数进行全排列

代码如下(示例):

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int child[2][6]={{1,3,4,6,7,8},{2,4,5,7,8,9}};//记录前6个元素的左、右孩子的下标。第一行表示为前6个元素的左孩子,第二行表示为前6个元素的右孩子。 
bool check(int a[],int n){
	for(int i=0;i<6;i++){  //只有前6个元素才有左右孩子 
		if(a[child[0][i]]<a[i]||a[child[1][i]]<a[i]){ //当第i+1个元素大于其左孩子或者大于其右孩子时不满足条件。 
			return false;
		}
	}
	return true;
}
int main(){
	int a[15]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
	int number=0;
	do{
		if(check(a,10)){ //当全排列完成后选择满足条件的全排列 
			number++;
			cout<<"   "<<a[0]<<endl;
			cout<<"  "<<a[1]<<"  "<<a[2]<<endl;
			cout<<" "<<a[3]<<"  "<<a[4]<<"  "<<a[5]<<endl;
			cout<<a[6]<<"  "<<a[7]<<"  "<<a[8]<<"  "<<a[9]<<endl;
		}	
	}while(next_permutation(a,a+10)); //对数组a进行全排列 
	cout<<number<<endl;
	return 0;
} 
### 蓝桥杯 搭积木 Java 解题思路 蓝桥杯比赛中的搭积木问题通常涉及模拟方块的堆叠过程以及计算某些属性(如高度)。这类题目可以借鉴力扣上类似的题目,比如掉落的方块[^1]。 #### 思路分析 对于此类问题,核心在于如何高效地维护已有的积木状态并快速判断新加入积木的影响。以下是可能的解题方法: - **数据结构的选择** 使用列表或其他动态数组来存储每一块已经放置好的积木的状态。每个积木可以用一个模型 `Model` 表示,其中包含左边界 (`left`) 和右边界 (`right`) 的坐标范围,以及该积木高度 (`height`)。 - **排序与查找优化** 将现有的积木按其左侧位置进行升序排列。当有新的积木落下时,通过二分查找或者线性扫描找到与其重叠的部分,并更新这些部分的最大高度。由于序列是有序的,在发现当前积木右侧超出已有积木右侧的情况下可提前终止循环。 - **时间复杂度考虑** 如果采用暴力方式逐一比较所有现有积木,则可能导致性能瓶颈。因此建议引入更高效的算法或辅助工具(例如树状数组、线段树等),进一步降低单次操作的时间开销。 #### 示例代码 下面提供了一个基于上述逻辑框架编写的简单版本Java程序作为参考: ```java import java.util.ArrayList; import java.util.List; class Model { int left, right, height; public Model(int l, int r, int h) { this.left = l; this.right = r; this.height = h; } } public class BuildBlocks { private List<Model> models = new ArrayList<>(); public void dropBlock(int[] block) { // 输入block={x,y,h} int maxHeight = 0; for (int i=0;i<models.size();i++) { Model m = models.get(i); if(block[1]<m.left){ break;// 当前积木右边小于等于model左边则无需继续遍历 } if(!(block[0]>m.right || block[1]<m.left)){ maxHeight=Math.max(maxHeight,m.height); } } int finalHeight=maxHeight+block[2]; models.add(new Model(block[0],block[1],finalHeight)); // 对list重新排序以便后续更快查询 models.sort((a,b)->Integer.compare(a.left,b.left)); } public static void main(String args[]) { BuildBlocks bb=new BuildBlocks(); bb.dropBlock(new int[]{1,3,2}); bb.dropBlock(new int[]{2,5,3}); } } ``` 此代码片段实现了基本的功能模块——接收输入参数表示要投放的新积木的位置及其初始高度;随后依据既定规则调整整体布局并将结果存入内部容器之中。 --- ###
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