ACM算法总结 数据结构（二）（树）

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一般我们考虑的树都是无向树，即联通非循环图（也就是联通无向图中没有环），如果为非联通非循环图，我们称之为森林。

而在树形结构中，二叉树具有很多很好的性质，也有很多有用的应用，所以一般都以二叉树为基础进行讨论。

二叉搜索树

一种中序遍历为原序列的树形结构，对于每一个子树，左儿子比自己小，右儿子比自己大，如果必要的话，可以给每个结点加权，记录每个数出现次数。

一个二叉搜索树：

基于这种结构，二叉搜索树支持以下功能：

• 插入：从根节点开始不断比较，小往左，大往右，最后放到合适位置；
• 删除：对于叶子结点直接删除；对于有一个儿子的结点，删除后把儿子放到该结点位置；否则，寻找右子树中最小的值（即以右儿子为根，不断往左寻找）进行替换；
• 查找：这个就很简单了；
• 查询排名：带有 size 的深度搜索；
• 前继后继：跟查找差不多；

堆

堆是一种完全二叉树，分为大根堆和小根堆，大根堆即所有子树的根节点都比儿子要大，小根堆同理。

一个大根堆：

基于这种数据结构，堆支持以下功能：

• 查询最值：即堆顶；
• 插入：我们将新的值放在最底层最右边，然后不停向上更新，直到新插入的值小于父亲；
• 弹出：将最后的值放到堆顶，然后不停向下更新更大的儿子，直到该值大于所有儿子；

Treap

尽管对于随机数来说二叉搜索树非常高效，但是在一些特殊情况下，它可能会退化成一条较长的链。所以，随机平衡二叉搜索树——Treap，用于解决平衡问题。Treap=Tree+Heap，Treap结合了二叉搜索树和堆的性质，为每一个结点分配一个随机数，在满足二叉搜索树的性质的前提下，对随机数满足堆的性质。这样由于随机数是随机的，所以二叉搜索树是平衡的。

Treap的核心操作是旋转，从以下例子可以看出，不管是左旋还是右旋，都不会影响Treap的二叉搜索树的性质：

我们可以看出，旋转的规律就是：把当前结点的反儿子（左旋右儿子，右旋左儿子）的正儿子（左旋左儿子，右旋右儿子）拿出来，然后把待旋转的两个结点对应移一下，再把拿出来的结点放到原来结点的反方向。

由于考虑到Treap要满足堆的性质，所以我们在插入、删除结点的时候，还要考虑满足大根堆或者小根堆，这通过旋转来实现。插入和删除的操作跟普通二叉搜索树差不多，只是对于插入操作，某个结点插入了新的儿子时，要对随机数数组 rd 进行 rotate（旋转）操作，以满足堆性质；对于删除操作，可以将待删除的结点 rotate 到叶子结点处，这样方便处理，中途也要考虑满足堆的性质。

其它的功能，凡是二叉搜索树能满足和实现的，Treap也能同样地实现。

Treap模板如下（普通平衡树）：

// t为每个结点的值；num为每个值出现次数；ch为儿子指针；rd为结点随机数；siz为结点子树大小
// root记录树根，tot记录结点个数

struct treap
{
   
   
    int tot,root;
    int *t,*num,(*ch)[2],*rd,*siz;

    treap(int maxn)
    {
   
   
        t=new int[maxn](); num=new int[maxn]();
        rd=new int[maxn](); siz=new int[maxn]();
        ch=new int[maxn][2](); root=tot=0;
    }

    void push_up(int k) {
   
   siz[k]=siz[ch[k][0]]+siz[ch[k][1]]+num[k];}

    void rotate(int &k,int d)
    {
   
   
        int x=ch[k][d^1];
        ch[k][d^1]=ch[x][d]; ch[x][d]=k;
        push_up(k); push_up(x);
        k=x;
    }

    void insert(int &k,int x)
    {
   
   
        if(!k) {
   
   k=++tot; t[k]=x; num[k]=siz[k]=1; rd[k]=rand(); return;}
        else if(t[k]==x) {
   
   num[k]++; siz[k]++; return;}
        else
        {
   
   
            int d=x>t[k];
            insert(ch[k][d],x);
            if(rd[k]<rd[ch[k][d]]) rotate(k,d^1);
            push_up(k);
        }
    }
    void insert(int x) {
   
   insert(root,x);}

    void del(int &k,int x)
    {
   
   
        if(!k) return;
        if(x!=t[k]) del(ch[k][x>t[k]],x);
        else
        {
   
   
            if(!(ch[k][0]|ch[k][1])) {
   
   num[k]--; siz[k]--; if(!num[k]) k=0;}
            else if(!ch[k][0] && ch[k][1]) {
   
   rotate(k,0); del(ch[k][0],x);}
            else if(ch[k][0] && !ch[k][1]) {
   
   rotate(k,1); del(ch[k][1],x);}
            else {
   
   int d=rd[ch[k][0]]>rd[ch[k][1]]; rotate(k,d); del(ch[k][d],x);}
        }
        push_up(k);
    }
    void del(int x) {
   
   del(root,x);}

    int ranking(int k,int x)
    {
   
   
        if(!k) return 0;
        if(x==t[k]) return siz[ch[k][0]]+1;
        if(x<t[k]) return ranking(ch[k][0],x);
        return ranking(ch[k][1],x)+siz[ch[k][0]]+num