CF - 872E. Points, Lines and Ready-made Titles - 并查集+数学

E. Points, Lines and Ready-made Titles

分类： disjoint set math

1.题意概述

• 平面直角坐标系上有 $n(1\leq n\leq 10^5)$ 个点，你可以在每个点画一条横线或一条竖线或者不划线。问你构成的图像有多少种不同的图？答案取模 $10^9+7$ 。

2.解题思路

• 考虑这个画图的特殊性，问题可以转化为：这些点可以产生的横线与竖线的出现情况。

  若单独考虑每个点情况显然是 $3^n$ 种，但是现在情况就是可能点在同一行或一列，对于这种情况，我们考虑缩点后分情况考虑：对于二维坐标系中的每一行中，对于每个点，如果右边有点，则从该点向右边这个点（相邻的那个点）连一条单向边。对于每一列中，对于每个点，如果该点下面有点，则向下边这个点（相邻的那个点）连一条单向边。然后对于每个点，将与之相连的点并查集合并，合并时如果发现成环，则记这个缩点的集合tag[i]=1，否则tag[i]=0。再算出每个集合中所有点所占据的不重复的行列数，记为dif[i]。

• 单独考虑缩点后的集合内情况，如图：

3.AC代码

const int maxn = 1e5 + 10;
ll quickmod(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        b >>= 1;
        a = a * a % mod; 
    }
    return ans;
}
struct Point {
    int x, y, id;
} p[maxn];
inline bool cmp1(const Point& a, const Point& b) {
    return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
}
inline bool cmp2(const Point& a, const Point& b) {
    return a.y < b.y || (a.y == b.y && a.x < b.x);
}
inline bool cmp3(const Point& a, const Point& b) {
    return a.id < b.id;
}
int pa[maxn], dif[maxn];
bool tag[maxn];
int find(int x) {
    if (x == pa[x]) return x;
    return pa[x] = find(pa[x]);
}
struct Edge {
    int to, next;
} E[maxn << 2];
int head[maxn], cnt;
inline void addedge(int u, int v) {
    E[cnt].to = v;
    E[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}
set<int> x[maxn], y[maxn];
inline void solve() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    cnt = 0;
    memset(head, -1,sizeof head);
    memset(tag, 0, sizeof tag);
    memset(dif, 0, sizeof dif);
    rep(i, 1, n + 1) {
        pa[i] = p[i].id = i;
        scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
    }
    sort(p + 1, p + n + 1, cmp1);
    rep(i, 1, n) {
        if (p[i].x == p[i + 1].x) {
            addedge(p[i].id, p[i + 1].id);
        }
    }
    sort(p + 1, p + n + 1, cmp2);
    rep(i, 1, n) {
        if (p[i].y == p[i + 1].y) {
            addedge(p[i].id, p[i + 1].id);
        }
    }
    sort(p + 1, p + n + 1, cmp3);
    rep(u, 1, n + 1) {
        int fu = find(u);
        for (int i = head[u]; ~i; i = E[i].next) {
            int v = E[i].to;
            int fv = find(v);
            if (fu == fv) tag[fu] = 1;
            else {
                pa[fv] = fu;
                tag[fu] |= tag[fv];
            }
        }
    }
    rep(u, 1, n + 1) {
        int fa = find(u);
        int sx = p[u].x, sy = p[u].y;
        if (x[fa].find(sx) == x[fa].end()) {
            dif[fa]++;
            x[fa].insert(sx);
        }
        if (y[fa].find(sy) == y[fa].end()) {
            dif[fa]++;
            y[fa].insert(sy);
        }
    } 
    ll ans = 1;
    rep(u, 1, n + 1) {
        if (u == find(u)) {
            ll res = quickmod(2LL, 1LL * dif[u]);
            if (!tag[u]) --res;
            ans = ans * res % mod;
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
}