POJ3233 - Matrix Power Series - 矩阵快速幂+思维

最新推荐文章于 2022-05-05 20:34:22 发布

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#acm #算法 #poj

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本文介绍了一种解决矩阵幂级数求和问题的有效方法，通过构造特定矩阵并利用快速幂运算来加速计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.题目描述：

Matrix Power Series

Time Limit: 3000MS		Memory Limit: 131072K
Total Submissions: 22069		Accepted: 9240

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

Source

POJ Monthly--2007.06.03, Huang, Jinsong

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2.题意概述：

题意是给定n*n矩阵A和整数k,要求一个矩阵S=A+A^2+...+A^k，输出S的每一个元素

3.解题思路：

很显然S[i]应该有这样的关系：

S[i+1]=S[i]+A^(i+1)

而对于A^(i+1)，又有

A^(i+1)=A^(i) * A

如果构造这样的矩阵，其中矩阵每一个元素也都是矩阵：

S[i] A^(i+1) A

0 0 0 (其中0指的是零矩阵)

0 0 0

注意到这样的矩阵可以乘上一个矩阵而实现进行一步变换的目的，即

S[i] A^(i+1) A I 0 0 S[i+1] A^(i+2) A

0 0 0 x I A 0 = 0 0 0

0 0 0 0 0 I 0 0 0

(其中I指的是单位矩阵)

很显然这样由S[1]构造出一开始的矩阵然后连乘k-1次可以得到带有S[k]的矩阵。

然后因为中间乘上的k-1个矩阵完全相同，因此可以用快速幂加速。

4.AC代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 30
#define pi acos(-1.0)
int MOD, n;
struct Matrix 
{
	int mat[N][N];
	Matrix operator*(const Matrix& m)const {
		Matrix tmp;
		for (int i = 0; i < n; i++) 
			for (int j = 0; j < n; j++) 
			{
				tmp.mat[i][j] = 0;
				for (int k = 0; k < n; k++)
					tmp.mat[i][j] += mat[i][k] * m.mat[k][j] % MOD;
				tmp.mat[i][j] %= MOD;
			}
		
		return tmp;
	}
	Matrix operator+(const Matrix& m)const {
		Matrix tmp;
		for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
				tmp.mat[i][j] = (mat[i][j] + m.mat[i][j]) % MOD;
		return tmp;
	}
};

Matrix Pow(Matrix m, int t)
{
	Matrix ans;
	memset(ans.mat, 0, sizeof(ans.mat));
	for (int i = 0; i < n; i++)
		ans.mat[i][i] = 1;
	while (t)
	{
		if (t & 1)
			ans = ans*m;
		t >>= 1;
		m = m*m;
	}
	return ans;
}

Matrix solve(Matrix m, int t) 
{
	Matrix A;
	memset(A.mat, 0, sizeof(A.mat));
	for (int i = 0; i < n; i++)
		A.mat[i][i] = 1;
	if (t == 1)
		return m;
	if (t & 1)
		return (Pow(m, t >> 1) + A)*solve(m, t >> 1) + Pow(m, t);
	else
		return (Pow(m, t >> 1) + A)*solve(m, t >> 1);
}
int main()
{
	/*
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	#endif
	*/
	int k;
	Matrix m, ans;
	while (scanf("%d%d%d", &n, &k, &MOD) != EOF)
	{
		for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
				scanf("%d", &m.mat[i][j]);
		ans = solve(m, k);
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			for (int j = 0; j < n; j++)
				if (j == 0)
					printf("%d", ans.mat[i][j]%MOD);
				else
					printf(" %d", ans.mat[i][j]%MOD);
			puts("");
		}
	}
	return 0;
}