【WinterCamp 2013】模积和

最新推荐文章于 2022-01-27 15:21:22 发布

Facico

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分类专栏：分块大法数论文章标签：冬令营 WC WinterCamp 模积和分块大法

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分块大法

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本文介绍了一种求解特定形式模运算求和问题的方法，通过巧妙转换原问题，利用数学性质简化计算过程，并提供了详细的步骤说明及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出n,m,求

\sum i = 1 n \sum j = 1, j \neq i m (n mod i) * (m mod j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1,j\not =i}^m(n\mod i)*(m\mod j)$
答案mod 19940417

Solution

转化

看到题目，题意十分简洁，心里十分舒畅。
看到 $n\over i$ 就要想到 ${n\over i}={n-\lfloor{n\over i}\rfloor}*i$ ，然后 $\lfloor{n\over i}\rfloor$ 是可以用分块做的，下面再讲。
我们上面的式子可以转化为

\sum i = 1 n \sum j = 1 m (n - ⌊ n i ⌋ * i) * (m - ⌊ m i ⌋ * i) - \sum i = 1 m i n (n, m) (n - ⌊ n i ⌋ * i) * (m - ⌊ m i ⌋ * i)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m({n-\lfloor{n\over i}\rfloor}*i)*({m-\lfloor{m\over i}\rfloor}*i)-\sum_{i=1}^{min(n,m)}({n-\lfloor{n\over i}\rfloor}*i)*({m-\lfloor{m\over i}\rfloor}*i)$
因为我们把所有情况求出来后，还要减去重复的，就是i=j的情况要减去
然后把后面的括号拆开

\sum i = 1 n \sum j = 1 m (n - ⌊ n i ⌋ * i) * (m - ⌊ m i ⌋ * i) - \sum i = 1 m i n (n, m) (n m + i 2 (⌊ n i ⌋ + ⌊ m i ⌋) - i * (m * ⌊ n i ⌋ + n * ⌊ m i ⌋))

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m({n-\lfloor{n\over i}\rfloor}*i)*({m-\lfloor{m\over i}\rfloor}*i)-\sum_{i=1}^{min(n,m)}({nm+i^2(\lfloor{n\over i}\rfloor+\lfloor{m\over i}\rfloor})-i*({m*\lfloor{n\over i}\rfloor}+{n*\lfloor{m\over i}\rfloor}))$
然后就

如何分块

我们想有一段区间[l,r]， ${\lfloor{n\over l}\rfloor}={\lfloor{n\over r}\rfloor}$ ，因为r要求是满足这个条件最大的值，那么就是说 ${\lfloor{n\over l}\rfloor}<={n\over r}$ ，那么就是 $r<=\lfloor{n\over {{\lfloor{n\over l}\rfloor}}}\rfloor$ ，因为r是整数，所以还要取整。那么就是[l,r]之间都是满足这个条件的，那么这段区间的答案就可以根据乘法分配律之类的，用 ${\lfloor{n\over l}\rfloor}$ 乘上这段和或者是一些东西就可以了。长练分块打法好，危难来时把命保。

还要注意一个东西

\sum i = 1 n i 2 = n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 ) 6

$\sum_{i=1}^ni^2={n*(n+1)*(2*n+1)\over 6}$
这个东西有很多证明方法，你可以用数学归纳法，百度上有。
看了拉格朗日插值法之后，你会觉得很简单拉格朗日插值法
其实，等你知道了解决自然数幂和的各种方法之后，你会觉得及其简单解决自然数幂和的各种方法

除以6的要用逆元

对于mod 19940417的逆元是3323403

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define ll long long
const int mo=19940417;
const int ni6=3323403;
using namespace std;
ll i,j,k,l,t,n,m,ans,r,k1;
ll sum(ll x,ll y){
    return ((y-x+1)*(y+x)/2)%mo;
}
ll qiuhe(ll x,ll y){
    return ((x+y)*(y-x+1)/2)%mo;
}
ll suan(ll x){
    ll t=0;
    for(ll l=1,r;l<=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ll o=x/l;
        t=(t+(r-l+1)*x%mo-qiuhe(l,r)*o%mo+mo)%mo;
    }
    return t;
}
ll pingfanghe(ll x){
    ll t=0;
    t=x*(x+1)%mo*(2*x+1)%mo*ni6%mo;
    return t;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n>m)swap(n,m);
    ans=suan(n)*suan(m)%mo;
    for(l=1;l<=n;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ll p=n/l,q=m/l;
        ans=(ans-n*m%mo*(r-l+1)%mo+mo)%mo;
        ans=(ans-(pingfanghe(r)-pingfanghe(l-1)+mo)%mo*p%mo*q%mo)%mo;
        ans=(ans+qiuhe(l,r)*(m*p%mo+n*q%mo)%mo+mo)%mo;
    }
    ans=(ans%mo+mo)%mo;
    printf("%lld\n",ans);
}