【NOIP2005 普及组】采药 详解 —— 0-1 背包入门

一道 0-1 背包模版题。

首先对于每株草药，只有两种情况：取或不取。那么我们就可以设一个数组（出于考虑有同学没学过动态规划，所以暂时不叫他 DP 状态），$f_{i,j}=k$ 表示只采前 $i$ 株草药，时间为 $j$ 时，最多能采到总价值为 $k$ 的草药。

这样我们就可以开始考虑如何得到 $f_{i,j}$。假如我们已经处理好了前 $i-1$ 株采药的所有情况，那么对于第 $i$ 株草药，我们就可以分两种情况：

1. 如果不取，那么就很简单，$f_{i,j}$ 还是等于 $f_{i-1,j}$。
2. 如果取，这时候剩余的时间就会减少采这株采药所需的时间（$t_i$），但总价值就会加上这株草药的价值（$v_i$），所以这时候 $f_{i,j}$ 就会等于 $f_{i-1,j-t_i}+v_i$。

考虑完两种情况后，我们只需要找他们两个中更优的方案，让 $f_{i,j}=\max (f_{i-1,j},f_{i-1,j-t_i}+v_i)$ 就可以了，我们管这个公式叫转移方程。

这样我们就可以得到代码了：

核心代码

for(int i = 1; i <= M; i++)
	for(int j = 0; j <= T; j++)
		f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-t[i]]+v[i]);

但是如果你这么交上去的话就会发现全都 $\text{WA}$ 了，这是为什么呢？

其实我们仔细观察第 $2,3$ 行，我们的 $j$ 从 $1$ 开始枚举，但是转移方程中有这样一个东西：j-t[i]。这样是不是就发现问题了？如果 $j$ 要是小于 $t_i$ 怎么办？所以我们的 $j$ 要按 $T\to 0$ 枚举，并在代码中加一个判断，这样就可以完美解决这个问题：

完整代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e3+5;
int t[N], v[N];
int f[105][N];

int main()
{
	int T, M;
	cin >> T >> M;
	for(int i = 1; i <= M; i++)
		cin >> t[i] >> v[i];
	for(int i = 1; i <= M; i++)
		for(int j = T; j >= 0; j--)
		{
			if(j >= t[i])
				f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-t[i]]+v[i]);
			else
				f[i][j] = f[i-1][j];
		}
	cout << f[M][T] << endl;
	return 0;
}

于是，我们就顺利通过此题了！

但是我们其实还可以将 $f$ 数组优化成一维的，接下来就来看一看如何优化。

如果大家有空间这个概念的话，就应该思考一个问题：如果题目中 $M,T$ 的更大怎么办？如果开二维数组就有可能出现 $\text{MLE}$，这时候我们就需要对代码进行优化。

首先来看，当我们处理到第 $i$ 株草药时，不难发现，对 $f_i$ 有影响的只有 $f_{i-1}$，所以可以直接去掉第一维，直接用 $f_j=k$ 表示当总时间为 $j$ 时，最多可获得总价值为 $k$ 的草药。于是就可以得出转移方程：$f_j=\max (f_j,f_{j-w_i}+v_i)$，这样代码是不是就十分简单了呢？但可能有人说，这样会重复放入。

说的没错，仔细观察代码可以发现：当 $j\ge t_i$ 时，$f_{i,j}$ 会被 $f_{i,j-t_i}$ 影响，因此第 $i$ 株草药会被多次采摘。如果想解决这个问题其实也很简单，我们只需改变枚举顺序，按 $T\to t_i$ 枚举，这时 $f_{i,j}$ 就会在 $f_{i,j-t_i}$ 前更新了。所以代码就是如下所示：

AC Code

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e3+5;
int t[N], v[N];
int f[N];

int main()
{
    int T, M;
    cin >> T >> M;
    for(int i = 1; i <= M; i++)
        cin >> t[i] >> v[i];
    for(int i = 1; i <= M; i++)
        for(int j = T; j >= t[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j-t[i]]+v[i]);
    cout << f[T] << endl;
    return 0;
}

是不是非常简短？

后记

其实背包问题不光只有 0-1 背包，还有完全背包、多重背包等变形问题。如果你还想学习这些问题，可以参考这里。

最后，希望这篇题解可以帮到你，祝你在 OI 的路上越走越远，慢慢喜欢上编程，获得更多成就！