区间 dp 介绍

今天给大家简单介绍区间 dp，以及 c++ 代码。

区间 dp

区间 dp 介绍

什么是区间 dp?

区间 dp 就是在区间上进行动态规划，求解一段区间上的最优解。

原理

通过枚举分割点得到并更新小区间的最优解，然后再通过合并小区间得到大区间的最优解。

什么时候要用区间 dp?

一般一下特征的问题适用于区间 dp：

• ‌问题范围是区间‌：例如字符串的子串、数组的子序列、数轴上的区间等。
• ‌决策影响整个区间‌：操作（如合并、分割、删除）会影响区间内的所有元素。
• ‌子问题可重复分割‌：大区间的最优解依赖小区间的最优解，且子问题需要多次计算。

常见的区间 dp 问题：

• 合并石子
• 分割字符串使子串满足条件
• 回文类问题
• ……

区间 dp 的模板

for(int len = 1; len <= n; len++)
{ //枚举长度
	for(int j = 1; j+len <= n+1; j++)
	{ //枚举起点，ends<=n
		int ends = j + len - 1;
		for(int i = j; i < ends; i++)
		{ //枚举分割点，更新小区间最优解
			dp[j][ends] = min(dp[j][ends], dp[j][i] + dp[i + 1][ends] + something);
		}
	}
}

例题 CF-245H

【题目传送门】

中文题面

回文串数量查询

• 每个测试的时间限制：$5$ 秒
• 每个测试的内存限制：$256$ 兆字节

题目描述

你有一个长度为 $|s|$ 的字符串 $s=s1,s2,\dots s|s|$，由小写英文字母组成。同时有 $q$ 个查询，每个查询由两个整数 $l_i,r_i$ 描述（$1\le l_i\le r_i\le |s|$）。该查询的答案是字符串 $s[l_i\dots r_i]$ 的子串中，回文串的数量。

字符串 $s[l\dots r]=s_l,s_l+1,\cdots s_r$（$1\le l\le r\le |s|$）是字符串 $s=s1,s2,\dots ,\cdots s|s|$ 的一个子串。

字符串 $t$ 被称为回文串，当且仅当它从左到右和从右到左读起来是一样的。 形式上，如果 $t=t_1,t_2,\dots t_{|}t|=t|t|,t|t|-1,\dots t_1$。

输入

第一行包含字符串 $s$（$1\le s\le 5000$）。第二行包含一个整数 $q$（$1\le q\le 106$），表示查询的数量。接下来的 $q$ 行包含这些查询。其中第 $i$ 行包含两个用空格分隔的整数 $l_i,r_i$（$1\le l_i\le r_i\le |s|$）表示第 $i$ 个查询的描述。

保证给定的字符串仅由小写英文字母组成。

输出

输出 $q$ 个整数，表示查询的答案。按照输入中查询的顺序打印答案。用空格分隔打印出的数字。

示例

• 输入示例

caaaba
5
1 1
1 4
2 3
4 6
4 5

• 输出示例

1
7
3
4
2

说明

考虑第一个测试用例中的第四个查询。字符串 $s[4\dots 6]$ = aba。它的回文子串是：a，b，a，aba。

思路

首先这道题需要求出区间 $[l,r]$ 内有多少个回文子串，所以可以想到区间 dp。

我们规定 dp 状态： $d{p}_{i,j}=k$ 表示在区间 $[i,j]$ 里回文子串有 $k$ 个。

接着我们还需要一个数组 $cn{t}_{ij}$ 来记录左端点 $\ge i$，右端点等于 $j$ 有多少个回文子串。

那么就可以得到转移方程：$d{p}_{i,j}=d{p}_{i,j-1}+cn{t}_{i,j}$。

于是我们的问题就变成了：如何用 $\Theta (n^2)$ 得到 $cnt$ 数组。

我们定义 $f_{i,j}$ 表示 $[i,j]$ 这个子串是不是回文串。

然后我们发现，如果这个 $[i+1,j-1]$ 这个子串是回文串且第 $i$ 位和 $j$ 位相同（如下图所示），那么 $[i,j]$ 就是一个回文串。

于是我们就得到了 $f$ 数组：

for(int i = len; i >= 1; i--)
	for(int j = i; j <= len; j++)
		f[i][j] = (f[i+1][j-1] && s[i] == s[j]);

接下来我们来想如何得到 $cnt$。

也很简单，就是先枚举 $j$，因为 $j$ 是固定的，然后按 $j\to 1$ 枚举 $i$。因此在计算 $cn{t}_{i,j}$ 是我们已经得到了 $cn{t}_{i+1,j}$，而 $cn{t}_{i,j}$ 就是 $cn{t}_{i+1,j}$ 加上 $[i,j]$ 是否为回文串，也就是 $f_{i,j}$，那么转移方程就是 $cn{t}_{i,j}=cn{t}_{i+1,j}+f_{i,j}$。

于是预处理 $cnt$：

for(int j = 1; j <= len; j++)
	for(int i = j; i >= 1; i--)
		cnt[i][j] = cnt[i+1][j] + f[i][j];

最后 $dp$ 就很简单了：

for(int i = 1; i <= len; i++)
	for(int j = i; j <= len; j++)
		dp[i][j] = dp[i][j-1] + cnt[i][j];

这就是这道题完整地思路。