27.最长递增子序列-优快云博客

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1.题目链接：

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）300. 最长递增子序列 - 给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。示例 1：输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]输出：4解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。示例 2：输入：nums = [0,1,0,3,2,3]输出：4示例 3：输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]输出：1 提示： * 1 <= nums.length <= 2500 * -104 <= nums[i] <= 104 进阶： * 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/description/

2.题目描述：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

     提示：
             1 <= nums.length <= 2500
             -10^4 <= nums[i] <= 10^4
3. 解法（动态规划）：
算法思路：
1. 状态表示：
        对于线性 dp ，我们可以用「经验 + 题目要求」来定义状态表示：


i.	以某个位置为结尾，巴拉巴拉；

ii. 以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：dp[i] 表示：以 i 位置元素为结尾的「所有子序列」中，最长递增子序列的长度。

2. 状态转移方程：
对于 dp[i] ，我们可以根据「子序列的构成方式」，进行分类讨论：


i.	子序列长度为 1 ：只能自己玩了，此时 dp[i] = 1 ；

ii. 子序列长度大于 1 ：nums[i] 可以跟在前面任何一个数后面形成子序列。
                 设前面的某一个数的下标为 j ，其中 0 <= j <= i - 1 。
                 只要 nums[j] < nums[i] ，i 位置元素跟在 j 元素后面就可以形成递增序列，长度                  为 dp[j] + 1 。
                 因此，我们仅需找到满足要求的最大的 dp[j] + 1 即可。
综上，dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]) ，其中 0 <= j <= i - 1 && nums[j] < nums[i] 。

3. 初始化：
所有的元素「单独」都能构成一个递增子序列，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。由于用到前面的状态，因此我们循环的时候从第二个位置开始即可。

4. 填表顺序：
显而易见，填表顺序「从左往右」。

5. 返回值：
由于不知道最长递增子序列以谁结尾，因此返回 dp 表里面的「最大值」。

Java算法代码：

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums){
        // 1.创建dp表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
        int ret = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(nums[j] < nums[i]){
                    dp[i] = Math.max(dp[j] + 1, dp[i]);
                }
            }
            ret = Math.max(ret,dp[i]);
        }
        return ret;
    }
}

运行结果：

动态规划：