5.不同路径（medium）

1.题目链接：

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）62. 不同路径 - 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？ 示例 1：[https://pic.leetcode.cn/1697422740-adxmsI-image.png]输入：m = 3, n = 7输出：28示例 2：输入：m = 3, n = 2输出：3解释：从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。1. 向右 -> 向下 -> 向下2. 向下 -> 向下 -> 向右3. 向下 -> 向右 -> 向下示例 3：输入：m = 7, n = 3输出：28示例 4：输入：m = 3, n = 3输出：6 提示： * 1 <= m, n <= 100 * 题目数据保证答案小于等于 2 * 109https://leetcode.cn/problems/unique-paths/description/

2.题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。​机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。​
问总共有多少条不同的路径？

示例 1：​

           输入：m = 3, n = 7​
           输出：28​
示例 2：​
           输入：m = 3, n = 2​
           输出：3​
解释：

               从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。​
               1. 向右 -> 向下 -> 向下​
               2. 向下 -> 向下 -> 向右​
               3. 向下 -> 向右 -> 向下​
3. 解法（动态规划）：
算法思路：
1. 状态表示：
        对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示一般有两种形式：

i.	从 [i, j]  位置出发，巴拉巴拉；​

  ii. 从起始位置出发，到达 [i, j]  位置，巴拉巴拉。​这里选择第二种定义状态表示的方式：
dp[i][j]  表示：走到 [i, j]  位置处，一共有多少种方式。​

2. 状态转移方程：
简单分析一下。如果 dp[i][j]  表示到达 [i, j]  位置的方法数，那么到达 [i, j]  位置之前的一小步，有两种情况：

i.	从 [i, j]  位置的上方（[i - 1, j]  的位置）向下走一步，转移到 [i, j]  位置；​

ii. 从 [i, j]  位置的左方（[i, j - 1]  的位置）向右走一步，转移到 [i, j]  位置。​由于我们要求的是有多少种方法，因此状态转移方程就呼之欲出了：dp[i][j] = dp[i - 1]

[j] + dp[i][j - 1] 。

3. 初始化：
        可以在最前面加上一个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

i.     辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」；

ii. 「下标的映射关系」。

在本题中，「添加一行」，并且「添加一列」后，只需将 dp[0][1]  的位置初始化为 1  即可。​

4. 填表顺序：

根据「状态转移方程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每一行，在填写每一行的时候「从左往右」。

5. 返回值：
        根据「状态表示」，我们要返回 dp[m][n]  的值。​

Java算法代码：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //动态规划
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        dp[1][1] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                if(i == 1 && j ==1) continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        return dp[m][n];

        //// 记忆化搜索
        // int [][] memo = new int[m+1][n+1];
        // return dfs(m,n,memo);
    }

    public int dfs(int i, int j, int[][] memo){
        if(memo[i][j] != 0) return memo[i][j];

        if(i == 0 || j == 0) return 0;
        if(i == 1 && j == 1){
            memo[i][j] = 1;
            return 1;
        }

        memo[i][j] = dfs(i - 1, j, memo) +dfs(i, j - 1, memo);
        return memo[i][j];
    }
}

运行结果：

动态规划：这道题笔者并不是第一次做，已经好几次了，也是很好想的。

这里是从头到尾巴。看看dfs这里是从尾巴到头。