爬楼梯

题目:给定一个整数n,每次只能走一个或者两个台阶,求一共有多少种解法。

输入:若干个整数n

输出:每个整数所对应的方法数

解析:这是一个经典的递归题目。每次只能走一个或两个台阶。每走一次,那么问题就f(n)可以化为走f(n-1)+f(n-2)了。最后只要再注意一下边界条件,问题就解决了。

#include <iostream>
using namespace std;
int f(int n);//n个台阶会有多少种走法
int main() {
	int n;
	while(!cin.eof()){
	cin >> n;
	cout << f(n) << endl;
}
	return 0;
}
int f(int n){
	if(n == 0) return 1;
	if(n == 1) return 1;
	return f(n-1)+f(n-2);
}


### PTA平台上爬楼梯问题的扩展与解法 PTA平台上的爬楼梯问题是经典动态规划问题的一个变体,通常会增加一些额外条件或者改变规则。以下是针对此类问题的一些常见扩展及其解决方案。 #### 扩展一:每次可以上任意数量的台阶 如果允许一次上 `k` 个台阶(其中 `k` 是一个小于等于某个固定值的最大步数),则状态转移方程变为: \[ f(n) = \sum_{i=1}^{k} f(n-i),\quad (n > k)\] 对于 \( n \leq k \),可以直接计算可能的方法总数。例如,当最大步数为3时, ```python def climb_stairs_k_steps(n, max_step): if n == 0: return 1 dp = [0] * (n + 1) dp[0] = 1 for i in range(1, n + 1): for step in range(1, min(max_step, i) + 1): dp[i] += dp[i - step] return dp[n] ``` 此算法的时间复杂度为 \( O(n \cdot k) \)[^2]。 #### 扩展二:带有障碍物的爬楼梯问题 如果有某些特定位置存在障碍物,则无法通过这些位置。此时需要调整状态转移逻辑,在遇到障碍物的位置将其方法数设为零。 ```python def climb_stairs_with_obstacles(n, obstacles): dp = [0] * (n + 1) dp[0] = 1 for i in range(1, n + 1): if i in obstacles: dp[i] = 0 elif i >= 2: dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] else: dp[i] = dp[i - 1] return dp[n] ``` 上述代码中,`obstacles` 表示包含所有障碍物索引的集合[^3]。 #### 扩展三:带权值的路径计数 假如每一步都有一个权重,并希望求得总权重最小或最大的路径数目。这可以通过引入辅助数组存储当前最优路径对应的累积权重实现。 ```python def weighted_climb_stairs(n, weights): dp_count = [0] * (n + 1) dp_weight = [float('inf')] * (n + 1) dp_count[0], dp_weight[0] = 1, 0 for i in range(1, n + 1): for j in [1, 2]: if i - j >= 0 and dp_weight[i - j] + weights[i - 1] < dp_weight[i]: dp_weight[i] = dp_weight[i - j] + weights[i - 1] dp_count[i] = dp_count[i - j] elif i - j >= 0 and dp_weight[i - j] + weights[i - 1] == dp_weight[i]: dp_count[i] += dp_count[i - j] return dp_count[-1], dp_weight[-1] ``` 这里 `weights` 数组表示每个台阶的权重[^4]。 ### 总结 无论是基础版还是各种复杂的变形版本,“爬楼梯”类题目都可以归结为一种形式化的动态规划模型。理解其核心原理并灵活运用是解决这类问题的关键所在。
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