AGC014D Black and White Tree

传送门

题意：
给出一棵有N个点的树。开始时，所有点都没被染色。两个人在这棵树上玩游戏。他们轮流操作：选择一个点，如果是先手操作，就把点涂成白色，否则涂成黑色。当所有点都被染色后，对于每一个与黑色点相邻的白色点，同时染成黑色。如果还有白点，先手胜，否则后手胜。两个人都采取最优策略，求出胜利者。

题解：
我们证明一下如果后手胜当且仅当这棵树是一个完全匹配。
先证充分性：先手选择一个点，后手选择该点的匹配即可。
再证必要性：如果不是完全匹配，那么一定有一个没匹配到的点，就让它为根。我们要找到父亲只有一个儿子的叶节点。如果没有，显然不是完全匹配，先手可以直接选择父亲，那么后手就GG了。然后先手选父亲，后手选儿子，否则先手一定会被后手染色。最后一定剩下一个点，让先手操作即可。
我也不知道我有没有把充分和必要写反QAQ

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,ma[maxn];
struct node { int v; node *nxt; } edge[maxn*2],*head[maxn],*ncnt;
void addedge(int u,int v)
{
	ncnt++;
	ncnt->v=v,ncnt->nxt=head[u];
	head[u]=ncnt;
}
void dfs(int u,int fa)
{
	for(node *p=head[u];p;p=p->nxt)
	{
		int v=p->v;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		if(!ma[v])
		{
			if(ma[u]) { printf("First\n"); exit(0); }
			ma[u]=v,ma[v]=u;
		}
	}
}
int main()
{
	ncnt=&edge[0];
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		addedge(u,v); addedge(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%s\n",ma[1]?"Second":"First");
}