AGC003D Anticube_从中选出一些数使得选出的任意两个数之积都不是立方数,问最多能选出多少个。她刚-优快云博客

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探讨了在一个数组中选取元素的问题，目标是确保任意两个选中元素的乘积不构成立方数。通过分解质因数并利用数学技巧，提出了一种有效的算法策略，以最大化满足条件的元素数量。

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题意：
有一个长度为N的数组S，要求从S中选择一些数，使得在你选择出的这些数中，任意两个数的乘积不是一个立方数。注意：S中的数可能有重复。
求最多能从S中选择多少个数满足要求。

题解：
对每一个数 $x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$ ，我们可以求出 $x'=p_1^{a_1\%3}p_2^{a_2\%3}...p_k^{a_k\%3}$ ，再顺便求出这个数乘以多少会是一个立方数。为陈述方便，就称作 $x^{''}$ 吧。
可以枚举 $\sqrt[3]{x}$ 范围内的质数，然后求出上述值。如果剩下的值>1，有两种情况：它是某个质数的平方；它是一个质数。然后就可以用map存出现次数，最后求答案时加上除立方数外，x’和x’'两种冲突情况的答案的最大值即可。如果有立方数，答案加一。

代码：

#include<cstdio>
#include<map>
#include<algorithm>
#define N 100000
#define LL long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef map<LL,int>::iterator miter;
int n,p[N+5],pcnt,ans,cnt0;
bool vis[N+5];
map<LL,int> cnt,calc;
map<LL,LL> iv;
void init()
{
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!vis[i]) p[++pcnt]=i,calc[1ll*i*i]=i;
		for(int j=1;i*p[j]<=N;j++)
		{
			vis[i*p[j]]=true;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		LL a,tmp,h1=1,inv=1;
		scanf("%lld",&a); tmp=a;
		for(int j=1;j<=pcnt&&1ll*p[j]*p[j]*p[j]<=a;j++)
			if(tmp%p[j]==0)
			{
				int xcnt=0;
				while(tmp%p[j]==0) tmp/=p[j],xcnt++;
				xcnt%=3;
				for(int i=1;i<=xcnt;i++) h1*=1ll*p[j];
				for(int i=1;i<=(3-xcnt)%3;i++) inv*=1ll*p[j];
			}
		if(tmp>1)
		{ 
			h1*=1ll*tmp;
			miter it=calc.find(h1);
			if(it!=calc.end()) inv*=it->second;
			else inv*=1ll*tmp*tmp;
		}
		if(h1==1) { cnt0=1; continue; }
		cnt[h1]++;
		iv[h1]=inv,iv[inv]=h1;
	}
	for(miter it=cnt.begin();it!=cnt.end();it++)
		if(cnt.find(iv[it->first])==cnt.end()) ans+=it->second;
		else
		{
			ans+=max(it->second,cnt[iv[it->first]]);
			it->second=cnt[iv[it->first]]=0; 
		}
	printf("%d\n",ans+cnt0);
}