HDU-6395 Sequence

最新推荐文章于 2020-02-17 16:03:48 发布

原创最新推荐文章于 2020-02-17 16:03:48 发布 · 142 阅读

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矩阵

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂高效求解特定序列的方法，针对形如Fn = C*Fn-2 + D*Fn-1 + ⌊p/n⌋的序列，通过分块和矩阵运算，在10^9+7模意义下计算Fn。文章详细解释了如何将序列转换为矩阵形式，并通过快速幂算法加速计算。

Problem Description
Let us define a sequence as below

${F1=AF2=BFn=C∗Fn−2+D∗Fn−1+⌊pn⌋\begin{cases} F_1=A\\ F_2=B\\ F_n=C*F_{n-2}+D*F_{n-1}+\left \lfloor\dfrac{p}{n}\right \rfloor\\ \end{cases}$

Your job is simple, for each task, you should output $F_n$ module $10^9+7$ .

Input
The first line has only one integer T, indicates the number of tasks.

Then, for the next T lines, each line consists of 6 integers, A , B, C, D, P, n.

$1 \leq T \leq 20$
$0≤A,B,C,D≤10^9$
$1≤P,n≤10^9$

Sample Input
2
3 3 2 1 3 5
3 2 2 2 1 4

Sample Output
36
24

（因为第8场做得渣，第7场又近又还勉强拿得出手（毕竟有原题还有板题），所以用这道题证明自己还活着）

如果我们知道如何用矩阵求Fibonacci的话，那么这道题也就比较容易想到矩阵。
因为 $⌊pn⌋\left \lfloor\dfrac{p}{n}\right \rfloor$ 只有大概 $p\sqrt p$ 个取值，所以分一下块，就可以用以下的矩阵来解：
$(FnFn−11)=(DC⌊pn⌋100001)×(Fn−1Fn−21)\begin{pmatrix} F_n\\ F_{n-1} \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D & C & \left \lfloor\dfrac{p}{n}\right \rfloor \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} F_{n-1}\\ F_{n-2} \\ 1 \\ \end{pmatrix}$
接下来怎么快速幂就比较显然了。
至于分块什么的比较简单，详见代码。
（不知道矩阵乘法和矩阵快速幂的自行百度）
（p.s.vector会TLE）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define mod 1000000007
using namespace std;
struct mat
{
    int r,c,a[5][5];
    mat(){};
    mat(int _r,int _c)
    {
        r=_r,c=_c;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
};
mat mul(mat A,mat B)
{
	mat C(A.r,B.c);
	for(int i=0;i<A.r;i++)
		for(int j=0;j<B.c;j++)
			for(int k=0;k<B.r;k++)
				C.a[i][j]=1ll*(C.a[i][j]+1ll*A.a[i][k]*B.a[k][j])%mod;
	return C;
}
mat powmod(mat A,int k)
{
    mat ret(A.r,A.c);
    for(int i=0;i<A.r;i++) ret.a[i][i]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) ret=mul(ret,A);
        A=mul(A,A);
        k>>=1;
    }
    return ret;
}
int t,a,b,c,d,p,n;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&p,&n);
        if(n==1) printf("%d\n",a);
        if(n==2) printf("%d\n",b);
        if(n<=2) continue;
        mat A(3,1),B(3,3);
        A.a[0][0]=b,A.a[1][0]=a,A.a[2][0]=1;
        int last;
        for(int i=3;i<=n;i=last+1)
        {
            if(!(p/i)) last=n;
            else last=min(n,p/(p/i));
            B.a[0][0]=d,B.a[0][1]=c,B.a[0][2]=p/i;
            B.a[1][0]=1,B.a[1][1]=0,B.a[1][2]=0;
            B.a[2][0]=0,B.a[2][1]=0,B.a[2][2]=1;
            B=powmod(B,last-i+1);
            A=mul(B,A);
        }
        printf("%d\n",A.a[0][0]);
    }
}