Sequence（hdu 6395 二分+矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2019-08-11 22:51:58 发布

luyehao1

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分类专栏： ACM-矩阵快速幂文章标签：二分矩阵快速幂

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定递推问题的方法，适用于递推式中包含固定常数的情况。通过构造特定矩阵并应用快速幂运算，可以在较短时间内计算出递推式的第n项值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：Sequence

题意：已知一个递推式，求递推式第n项。

思路：在表达式中，如果 $\left \lfloor P/i \right \rfloor$ 为一个固定常数E，那么这个表达式就可以用矩阵快速幂进行求解。

矩阵构造为： $\begin{bmatrix} F1,&F2,&E \end{bmatrix}$ * ( $\begin{bmatrix} 0 &C &0 \\ 1 &D &1 \\ 0 &1 &1 \end{bmatrix}$ )^num

因此，枚举E的值即可（O(sqrt(P))），每次枚举到的 i 都是 $\left \lfloor P/i \right \rfloor$ 的值第一次出现的位置，二分找到其最后一次出现的位置j，在这段区间内E就是一个常数，使用上述矩阵快速幂即可。总时间复杂度：O（sqrt(P)*logn）。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <set>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e5+10;
const ll mod=1e9+7;

ll a,b,c,d,p;
int n;

typedef struct {
	ll m[3][3];
}Matrix;

Matrix Mul(Matrix a, Matrix b)
{
	Matrix c;
	memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
	for (int i = 0; i < 3; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 3; j++)
		{
			for (int k = 0; k < 3; k++)
			{
				c.m[i][j] += ((a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod + mod) % mod;
				c.m[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	return c;
}

Matrix fastm(Matrix a, ll num)
{
	Matrix res;
	memset(res.m, 0, sizeof(res.m));
	for(int i=0;i<3;i++)
        res.m[i][i] = 1;
	while (num)
	{
		if (num & 1)
			res = Mul(res, a);
		num >>= 1;
		a = Mul(a, a);
	}
	return res;
}

//二分查找P/i值相同的最大i
ll bin_search(ll i)
{
    ll l=i,r=n;
    ll current=p/i;
    while(l<r){
        ll mid=r-((r-l)>>1);
        ll tmp=p/mid;
        if(tmp==current)
            l=mid;
        else if(tmp<current)
            r=mid-1;
        else
            l=mid+1;
    }
    return l;
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%d",&a,&b,&c,&d,&p,&n);
        if(n==1){
            printf("%lld\n",a);
            continue;
        }
        if(n==2){
            printf("%lld\n",b);
            continue;
        }
        ll f1,f2;
        f1=a%mod; f2=b%mod;
        Matrix y;
        y.m[0][0]=0; y.m[0][1]=c; y.m[0][2]=0;
        y.m[1][0]=1; y.m[1][1]=d; y.m[1][2]=0;
        y.m[2][0]=0; y.m[2][1]=1; y.m[2][2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            int j=bin_search(i);
            ll E=p/i;
            //num为E值相同的项数
            ll num=j-i+1;
            Matrix tmp;
            tmp=fastm(y,num);
            ll res;
            res=(f1*tmp.m[0][0]%mod+f2*tmp.m[1][0]%mod+E*tmp.m[2][0])%mod;
            f2=(f1*tmp.m[0][1]%mod+f2*tmp.m[1][1]%mod+E*tmp.m[2][1])%mod;
            f1=res;
            i=j;
        }
        printf("%lld\n",f2);
	}
}