最小生成树

0.定义

给定一个无向图，如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树，那么这棵树就叫做生成树。如果边上有权值，那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树（MST）。

1.Prim

假定生成树中最开始只有一个点。然后每次寻找离生成树最近的点，加入生成树。不断进行操作，就可以得到一棵最小生成树了。
如何寻找？可以维护每个点离生成树的距离，加入顶点u时只需查看与u相连的边就行了。想当初最开始写Prim的时候是暴力枚举在树里和没在树里的简直各种浪费时间
详见代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 105
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,G[maxn][maxn],mincost[maxn],ans;
bool vis[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&G[i][j]);
    memset(mincost,0x3f,sizeof(mincost));
    mincost[1]=0;
    while(1)
    {
        int u=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!vis[i]&&(u<0||mincost[i]<mincost[u])) u=i;
        if(u<0) break;
        vis[u]=true;
        ans+=mincost[u];
        for(int i=1;i<=n;i++)
            mincost[i]=min(mincost[i],G[u][i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
}

这样时间复杂度是$O(V^2)$的，但是如果用堆来维护mincost复杂度可以变为$O(ElogV)$。然而我似乎并没有写

2.Kruskal

将边按照权值从小到大排序，依次查看。如果边的两个顶点不在同一个连通分量内，就把边加入生成树中。
如何判断两个顶点是否在同一个连通分量？用并查集。
并查集的坑到时候再正儿八经地填上吧QAQ
总之下面就是代码了emmm

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 105
#define maxm 5100
using namespace std;
int n,m,fa[maxn],ans;
struct edge
{
    int u,v,cost;
}es[maxn];
bool cmp(edge p,edge q) {return p.cost<q.cost;}
void makeset()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
}
int findset(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=findset(fa[x]);
}
void unionset(int r1,int r2) {fa[r1]=r2;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if(i>=j) continue;
            es[++m].u=i;es[m].v=j;es[m].cost=x; 
        }
    sort(es+1,es+m+1,cmp);
    makeset();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int r1=findset(es[i].u),r2=findset(es[i].v);
        if(r1!=r2)
        {
            unionset(r1,r2);
            ans+=es[i].cost;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

所以，复杂度就是$O(ElogV)$.（but why…