11、傅里叶分析：原理、应用与实践

傅里叶分析：原理、应用与实践

1. 傅里叶分析简介

傅里叶分析是一种强大的数学工具，它能够将一个连续的时间信号或函数表示为一系列谐波函数的和（或积分）。这一理论由法国数学家和物理学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在19世纪初提出，为现代科学和工程领域的许多问题提供了有效的解决方案。

1.1 信号的不同表示形式

信号可以有多种表示形式，例如：
- 形式一 ：$z(t) = A_1 \cos(\omega_1t) + B_1 \sin(\omega_1t) + A_2 \cos(\omega_2t) + B_2 \sin(\omega_2t)$
- 形式二 ：$z(t) = \Re \left[ D_1e^{i\omega_1t} + D_2e^{i\omega_2t} \right]$

这两种形式是等价的，其中系数$D_1$和$D_2$可以通过傅里叶变换确定，通常被称为$z(t)$函数的傅里叶系数。

1.2 不同类型的信号

1.2.1 周期性非谐波函数

在物理学中，我们经常会遇到周期性函数。例如，一个周期性非谐波信号可以由六个谐波函数相加得到，每个谐波函数由一组$[A_i, B_i, \omega_i]$值描述。为了得到周期性信号，每个$\omega_i$被取为最低值$\omega_0$的整数倍，即$\omega_i = n\omega_0$，其中$\omega_0$被称为“基频”。

1.2.2 非谐波非周期性函数

任意函数，包括非谐波和